Примеры решения задач. Задача 1. Мощность потока энергии, излучаемой из смотрового окошка мартеновской печи, Р=2,17 кВт

Задача 1. Мощность потока энергии, излучаемой из смотрового окошка мартеновской печи, Р=2,17 кВт. Площадь смотрового окошка S=6 см². Определите температуру печи.

Дано: Р=2,17кВт=2170 Вт; S=6 см²=6.10^-4м².

Найти: Т =?

Решение. Мартеновскую печь можно считать моделью абсолютно черного тела, т.к. смотровое окошко мало по сравнению с размером полости печи. Поэтому применим законы излучения абсолютно черного тела. По определению энергетическая светимость

R_э = W/(St),

а W/t=P- мощность излучения. А по закону Стефана-Больцмана

R_э =sТ⁴.

Отсюда Р/S= sТ⁴, где s=5,67.10^-8 Вт.м^-2.К^-4. Þ

T=(P/Ss)^1/4

T=(2170/6.10^-45,67.10^-8)^1/4=2800K.

Ответ: Т=2800K.

Задача 2. Найти площадь излучающей поверхности нити 25-ваттной лампы, если температура нити 2450 К. Излучение нити составляет 30% излучения абсолютно черного тела при данной температуре. Потерями тепла, связанными с теплопроводностью, пренебречь.

Дано: Р=25 Вт, Т=2450К, k=0,3, s=5,67.10^-8 Вт.м^-2.К^-4

Найти: S –?

Решение. R_э= по определению для любого тела.

k=R_э /R_{э а.ч.т.}. Þ R_э= kR_{э а.ч.т.}, а по закону Стефана-Больцмана R_{э а.ч.т}=sТ⁴, следовательно , , S= 4.10^-5 м²

Ответ: S= 4.10^-5 м^2.

Задача 3. Вследствие изменения температуры тела максимум его спектральной энергетической светимости переместился с l₁=2,5мкм до l₂=0,125 мкм. Тело абсолютно черное. Во сколько раз изменилась: а)температура тела; б)интегральная энергетическая светимость?

Дано: l₁=2,5мкм=2,5.10^-6м; l₂=0,125 мкм=0,125.10^-6 м.

Найти: Т₂/Т₁=? R_э2/ R_э1=?

Решение. По первому закону Вина:

l₁ = в₁/ Т₁ (1); l₂ = в₁/ Т₂ (2).

Разделим уравнение (1) на уравнение (2): l₁/l₂ = Т ₂/ Т_1.

R_э1 =sТ₁⁴; R_э2 =sТ₂⁴; R_э2 / R_э1 = (Т ₂/ Т₁)⁴=(l₁/l₂)⁴

Ответ: Т ₂/ Т₁=2,5.10^-6/0,125.10^-6 = 20; R_э2 / R_э1=20⁴=16.10⁴.

Задача 4. Максимальная спектральная светимость абсолютно черного тела r_l,Tmax=4,16.10¹¹ Вт/м². На какую длину волны она приходится?

Дано: r_l,Tmax=4,16.10¹¹ Вт/м²; в₁ = 2,9.10^-3 м.К; в₂ =1,3.10^-5Вт.м^-3.К^-5.

Найти: l_max =?

Решение. По второму закону Вина:

r _l,Tmax = в₂. Т⁵; Þ T=(r _l,Tmax/ в₂)^1/5

По первому закону Вина

l_max =в ₁/Т Þ l_max =в ₁/(r _l,Tmax/ в₂)^1/5

l_max = 2,9.10^-3/(4,16.10¹¹/1,3.10^-5) ^1/5=.2,9.10^-3/2.10³=1,45.10^-6(м)

Ответ: l_max=1,45.10^-6м.

Задача 5. Диаметр вольфрамовой спирали в электрической лампочке равен 0,33 мм, длина спирали 5 см. При включении лампочки в цепь напряжением 127 В через лампочку идет ток силой 0,31 А. Найти температуру лампочки. Считать, что по установлении равновесия все выделяющееся в нити теряется в результате лучеиспускания. Отношение энергетических светимостей вольфрама и абсолютно черного тела считать для этой температуры равным 0,31.

Дано: d=0,3мм=3.10^-4 м, l =5cм=5.10^-2м,U=127В, I=0,31A, k=0,31, s=5,67.10^-8 Вт.м^-2.К^-4 .

Найти: Т =?

Решение. R _в= W/St - энергетическая светимость вольфрама;

где W=UIt - энергия, выделяющаяся в нити, теряемая за счет лучеиспускания; S=pd l - площадь, с которой происходит излучение; k=R_в/R_эАЧТ,

По закону Стефана-Больцмана: R_эАЧТ=sТ⁴

Тогда UI/(pd l)=ksТ⁴ , следовательно, Т=(UI/(pd l ks)^1/4 =2500К.

Ответ: 2500 К.

Задача 6. Железный шар радиусом 10 см, нагретый до температуры 1227^оС, остывает на открытом воздухе. Через какое время его температура понизится до 1000 К? При расчете принять, что отношение энергетических светимостей железа и абсолютно черного тела 0,5. Теплопроводностью воздуха пренебречь.

Дано: r=0,1 м, Т₁=1500 К, Т₂=1000 К, r=7900 кг/м³, с=500Дж/(кг.К), k=0,5.

Найти: t -?

Решение. Количество теплоты, теряемое шаром при понижении температуры на dT: , где r – плотность железа, с - его удельная теплоемкость. С другой стороны, , где dt–время излучения, соответствующее понижению температуры на dT. , откуда

=1503 с.

Ответ: t= 1503 с.