Гамма-пучок

Рассмотрим транзитивный пучок с максимальной степенью свободы, удовлетворяющий условию, что каждый член пучка должен быть косо-параллелен любому другому. Пучок, определенный таким образом, будет называться g-пучком.

Он получается путем добавления m независимых, взаимно-ортогональных нуль-векторов к направляющему вектору V. Можно определить m взаимно-ортогональных нуль-векторов, выбирая один внутренний из j ортонормированных внутренних векторов в подмногообразии J и один внешний вектор из k ортонормированных внешних векторов в подмногообразии К.

Если k= j и, следовательно, m = j – 1, то, для того, чтобы охватить J целиком и связать его через нуль-векторы g-пучка со всем К, необходимо и достаточно j g-пучков.

Если k>j и, следовательно, m = j, то нужно k g-пучков, чтобы охватить все К и связать его с J.

Таким образом, k g-пучков устанавливают транзитивную всеобщую связь К и J и позволяют связать внешние отношения каждого целого Р с внутренними свойствами Р. Следовательно, мы ассоциируем g-пучок с детерминирующим условием пространства и отмечаем, что для всеобщей связи требуется k таких пучков. Дальше мы установим, как и ожидается, что k = 3, то есть что пространство, определенное таким образом, трехмерно.

Можно видеть, что g-пучок очень сходен по характеру с a-пучком. Оба являются транзитивными семействами, и ни тот, ни другой не имеют фиксированного направляющего вектора. a-пучок отличается от g-пучка только тем, что:

(а) Он составлен из внутренних, без внешних, направляющих векторов, и

(б) он имеет на m – 1 степеней свободы меньше.

В этом смысле a-пучок - это вырожденный g-пучок.

4. Дельта-пучок.

Следует ожидать, что мы обнаружим вырожденный нетранзитивный пучок, находящийся в том же отношении к b-пучку, как a- пучок к g- пучку. Очевидно, мы можем определить d-пучок как вырожденное нетранзитивное семейство, имеющее только одну степень свободы с фиксированным Ø и переменным U. Направление U, имеющее только одну степень свободы, должно быть таким, что равные внутренние и внешние вектора, на которые может быть разложено U, вращаются на двумерных поверхностях в J и К соответственно. Вращение соответствует единственной степени свободы, а независимый параметр можно принимать в качестве угла вращения.