Пучки косо-параллельных

Семейство косо-параллельных трипотентно. Это можно увидеть из равенства (15.4), где V – направляющий вектор, Ø – расхождение и U – нуль-вектор определены независимо друг от друга.

Ясно, что W может представлять любую трипотентную сущность и может также служить для представления любого трехчленного отношения. Чтобы сделать символизм определенным, мы ограничимся использованием косо-параллельных для представления отношений. Существует три независимых пути ограничения семейства W. Мы можем определить:

(а) направляющий вектор V,

(б) нуль-вектор U, и

(в) скалярный множитель Ø.

Из этого возникают, прежде всего, два основных типа пучков, в соответствии с тем, является ли вектор V свободным или фиксированным. Если V не является единственным, тогда пучок называется транзитивным; если он единственный, семейство будет называться нетранзитивным.

В последующем часто удобно считать все U фиксированными, вводя их достаточно много, чтобы иметь возможность выражать все множество их при помощи переменного расхождения Ø. Таким образом, мы имеем транзитивные семейства косо-параллельных, задаваемые равенством:

W = V + å Øp Up (15.6)

Здесь нуль-векторы Up взаимно-ортогональны и каждый из них ортогонален направляющему вектору V. В этом равенстве расхождения Øp являются действительными ненулевыми параметрами. Степеней свободы m, и можно показать, что оно не больше j, если k > j, или j – 1 если k = j. Каждый член семейства является косо-параллельным любому другому члену. В качестве направляющего вектора V может быть выбран любой член семейства, и, следовательно, V не является единственным.

В нетранзитивном семействе каждый вектор W косо-параллелен V, но, вообще говоря, не другим векторам W. Можно показать, что число степеней свободы не превышает n –2, где n = j + k