Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как противостоять манипуляциям мужчин? Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Углы и окружности



5.1. Иногда приходится рассматривать окружность в пересечении с углом, стороны которого имеют с окружностью общие точки. Вершина угла может совпадать с центром окружности, лежать на самой окружности, быть внутренней точкой круга, лежать вне круга.

Если вершина угла совпадает с центром, то угол называют центральным, и он измеряется дугой, на которую опирается. На рис. 16 Ð АОВ = АВ. Если вершина угла принадлежит окружности, то его называют вписанным, и он измеряется половиной дуги, на которую опирается. На рис. 17 Ð АВС = АС.

 

Теорема 1. Угол между касательной и хордой, проведённой через точку касания, измеряется половиной дуги, заключённой между хордой и касательной.

Доказательство. Пусть сторона TS угла ATS является касательной, а сторона ТА – хордой (рис. 18). Проведём диаметр ТТ1. Если АТ содержит α , то АТ1 содержит

180 – α . Ð АТТ1 = (180 – α ) = 90 α .

Ð АТS = 90 – Ð АТТ1 = 90 – (90 α ) = α .

5.2. Теорема 2. Угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой дуг, заключённых между сторонами угла и между их продолжениями.

Доказательство. Пусть угол АМВ имеет вершину внутри круга (рис. 19).

Поскольку Ð АМВ – внешний угол для D АВМ1,

то Ð АМВ = Ð АВ1М + Ð В1АМ = Ð АВ1В + Ð В1АА1 =

= АВ + А1В1 = ( АВ + А1В1).

 

Теорема 3.Угол с вершиной вне круга измеряется половиной разности дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство. Пусть угол АМВ имеет вершину вне круга (рис. 20). Поскольку углы АМВ1 и МАВ1 вместе равны внешнему углу АВ1В треугольника АМВ1, то

Ð АМВ1 = Ð АВ1В – Ð А1АВ1 = АВ – А1В1 =

= ( АВ А1В1).

Следствие 1. ГМТ, размещённых по одну сторону от прямой, из которых данный отрезок виден под данным углом, есть дуга окружности, которая имеет своими концами концы данного отрезка.

Действительно, если из точки М отрезок АВ виден под углом a (рис. 21), то из любой другой точки М1 дуги АМВ он виден под этим же углом. Если же взять точку М2 между дугой АМВ и отрезком АВ, то Ð АМ2В > Ð АМВ, поскольку Ð АМ2В измеряется полусуммой дуг АВ иА1В1, что больше АВ.



Если взять точку М3 вне сегмента АМВ, то Ð АМ3В < Ð АМВ, посколькуÐ АМ3В = ( АВ – А2В2) < АВ.

Следствие 2. ГМТ, из которых данный отрезок виден под прямым углом, есть окружность, для которой этот отрезок является диаметром.

5.3. Четыре произвольные точки плоскости за редким исключением не попадают на окружность, так как три из них уже определяют окружность, а четвёртая может на ней и не оказаться.

 

Теорема 4. Если точки А, В, С, D лежат на окружности (в названном порядке) (рис.22), то Ð АВС + Ð ADC = 180 , Ð BAD + Ð BCD = 180 .

Доказательство. Легко получается из теоремы об измерении вписанного угла:

Ð АВС = АDC, Ð ADC = АBC и

Ð АВС + Ð ADC = ( АDC + АBC) = ·360 = 180 .

Второе равенство устанавливается аналогично.

Следствие 3. Если точки А, В, С, D лежат на окружности, то

Ð АВD = Ð ACD (рис. 23) или Ð АВD + Ð ACD = 180 (рис. 24).

 
 

Теорема 5. Если точки А, В, С, D плоскости размещены так, что В и С лежат по одну сторону от прямой АD и Ð ABD = Ð ACD или В и С лежат по разные стороны от прямой АD и Ð ABD + Ð ACD = 180 , то точки А, В, С, D принадлежат одной окружности.

Доказательство. Пусть точки В и С лежат по одну сторону от прямой АD и Ð ABD = Ð ACD (рис. 23). Тогда точка С принадлежит ГМТ, для которых отрезок АD виден под углом АВD.

Пусть точки В и С лежат по разные стороны от прямой АD и Ð ABD + Ð ACD = = 180 . Проведём окружность через точки А, В, D. Пусть прямая АС пересекает дугу АD в точке С1 (рис. 25). Точка С может находиться между А и С1, совпадать с С1, лежать на луче АС1, вне отрезка АС1.

Пусть С2 – произвольная точка между А и С1. Тогда ÐАС2D – внешний угол треугольника С2С1D и

Ð ABD + Ð AC2D > Ð ABD + Ð AC1D = 180 .Поэтому точка С не может лежать между А и С1. Пусть С3 – произвольная точка луча АС, находящаяся вне отрезка АС1. Тогда Ð AC3D < Ð AC1D (внутренний угол треугольника менше внешнего, не смежного с ним) и Ð ABD + Ð AC3D < Ð ABD + Ð AC1D = 180 . Видим, что точка С не может лежать вне отрезка АС1. Поэтому С совпадает с С1.

 

Следствие 4. Для каждого четырёхугольника АВСD (рис. 26) следующие условия эквивалентны:

1. Ð А + Ð С = 180 ; 2. Ð В + Ð D = 180 ;

3. Ð 1 = Ð 4; 4. Ð 2 = Ð 7;

5. Ð 3 = Ð 6; 6. Ð 5 = Ð 8.

Следствие 5. Каждое из условий 1) – 6) (следствие 4) достаточно для того, чтобы около четырёхугольника АВСD можно было описать окружность.

 








Date: 2015-05-05; view: 141; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2017 year. (0.01 sec.) - Пожаловаться на публикацию