Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как противостоять манипуляциям мужчин? Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника







Теорема Пифагора





 

4.1. Теорема Пифагора – наверное самый известный факт геометрии. Она имеет богатую историю и сегодня известно более 360 ее доказательств, одно из которых приведем (рис. 9). Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой с.

Чтобы доказать, что а2 + b2 = c2, построим два квадрата со стороной a + b.

Первый квадрат разобьем на два квадрата с площадями а2 и b2 и 4 прямоугольных треугольника, равных данному, другой – на четыре такие же треугольника и квадрат со стороной с.

Если от равных квадратов АВСD и А1В1С1D1 отбросить по четыре равных треугольника, то оставшиеся фигуры будут иметь одинаковые площади. Поэтому

а2 + b2 = c2.

Теорема 1. В прямоугольном треугольнике каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу:

= , = .

Доказательство. Из подобия ∆АВС ~ ∆АСН и

∆АВС ~ ∆СВН получим необходимые пропорции.

 

Следствие 1. Хорда круга есть среднее пропорциональное между диаметром и её проекцией на диаметр, проходящий через один из концов хорды.

Действительно, ÐACВ = 90° (рис. 11). Поэтому к треугольнику АВС можно применить теорему 1.

 

Теорема 2. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые она делит гипотенузу: = (рис. 10).

Для доказательства достаточно заметить подобие треугольников АСН и СВН.

Следствие 2. В круге перпендикуляр, опущенный из какой-нибудь точки окружности на диаметр, есть среднее геометрическое между отрезками, на которые он делит диаметр: СН = (рис. 11).

 

Теорема 3. Разность квадратов двух сторон треугольника равна разности квадратов их проекций на третью сторону треугольника:

АС2 – АВ2 = НС2 – НВ2 (рис. 12).

Доказательство. По теореме Пифагора, применённой к треугольникам АСН и АВН будем иметь:

АС2 = НС2 + АН2, АВ2 = НВ2 + АН2 ,

Откуда АС2 – АВ2 = НС2 – НВ2.

Следствие 3. Геометрическое место точек (ГМТ), разность квадратов расстояний которых до двух данных точек А и В постоянна, есть перпендикуляр к прямой АВ.

Действительно, пусть точки М и N такие, что МА2 – МВ2 = k и NA2 – NB2 = k. Спроектируем точку М на прямую АВ, получим точку О. Тогда АО2 – ВО2 = k. Если спроектировать точку N на прямую АВ, то для её проекции О1 будем иметь

АО – ВО = k. Значит, О1 = О.

Пусть теперь точка Р лежит на перпендикуляре ОМ, тогда для неё АО2 –ВО2 =k.

Теорема 4. Медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена тогда и только тогда, когда она выходит из вершины прямого угла.

Доказательство. Необходимость. Пусть медиана СМ (рис. 13) в треугольнике АВС равна АВ, т.е. МА = МВ = МС.

Тогда Ð МСА = Ð А, Ð МСВ =Ð В,

Ð А + Ð В + Ð АСВ = 180º,

Ð А + Ð В = 90º, Ð МСА + Ð МСВ = 90º.

Достаточность. Пусть в прямоугольном треугольнике АВС, Ð С = 90º, проведена медиана СМ (рис. 14). Продолжим медиану СМ за точку М так, что МС1 = МС. Четырёхугольник АСВС1 – параллелограмм, причём Ð С = 90º, значит четырёхугольник АСВС1 – прямоугольник. Поэтому АВ = СС1 и МА = МВ = МС.

 

Следствие 4. Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности находится на середине гипотенузы, а радиус окружности равен половине гипотенузы.

 

Задача 3. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины С прямого угла проведена высота СН. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники АСН и ВСН равны r1 и r2. Найти радиус r окружности, вписанной в треугольник АВС.

Решение. Из подобия треугольников ВАС, ВСН, САН можно записать . Тогда для определенного числа t: AB = rt, AC = r1t, BC = r2t.

А поскольку AB2 = AC2 +BC2, то r2 t2 = r t2 + r t2, и

r2 = r +r .

Заметим, что подобные отношения существуют между другими сходными линейными элементами d, d1 и d2 треугольников АВС, АСН и ВСН: d2 = d + d , (например для расстояний от точки пересечения медиан до центров вписанных окружностей).

Этот факт называют обобщённой теоремой Пифагора.








Date: 2015-05-05; view: 195; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2017 year. (0.005 sec.) - Пожаловаться на публикацию