Теорема 1. Произведение секущей, проведённой через точку М вне круга, на её внешнюю часть есть величина постоянная

Следствие 1. Произведение секущей, проведённой через точку М, находящуюся на расстоянии а от центра круга

радиуса R, а > R, на её внешнюю часть равна а ² – R ².

Действительно, по теореме 1:

МА МВ = МС МD = (а + R) (a – R) = a ² – R ² (рис. 38).

Теорема 2. Если на сторонах угла с вершиной М взяты 4 точки А, В, С, D (рис. 39) такие, что МА МВ = МС МD, то точки А, В, С, D лежат на одной окружности.

Доказательство. Пусть через точки А, В, С проведена окружность и D ₁ – её вторая точка пересечения с прямой МС. Тогда по теореме 1: МА МВ = МС МD ₁, кроме того по условию МА МВ = МС МD. Тогда МС МD ₁ = МС МD. Поэтому точки D ₁ и D совпадают.

Теорема 3. Если через точку М внутри круга проведена хорда, то произведение частей хорды, на которые она делится точкой М, есть величина постоянная.

Доказательство. Пусть через точку М внутри круга с центром О произвольно проведены две хорды АВ и СD. Докажем, что МА МВ = МС МВ (рис. 40). Из подобия Δ АМС и Δ ВМD, (Ð АМС = Ð ВМD, Ð САВ = Ð СDВ) имеем , или МА МВ = МС МD.

Следствие 2. Произведение частей хорды, на которые она делится точкой М, находящейся на расстоянии а от центра круга радиуса R, а < R, равно R ² – а ².

Действительно, по теореме 2 (рис. 41)

МА МВ = МС МD = (R + a) (R – a) = R ² – а ².

Теорема 4. Если отрезки АВ и СD пересекаются в точке М и МА МВ = МС МD, то точки А, В, С, D принадлежат одной окружности.

Доказательство. Через точки А, В, С проведём окружность (рис. 42). Пусть D ₁ – её вторая точка пересечения с прямой СМ. Тогда по теореме 3 МА МВ = МС МD ₁, а по условию МА МВ = МС МD. Тогда МС МD ₁ = МС МD, или МD ₁ = МD, и, значит точки D ₁ и D совпадают.

Теорема 5. Произведение секущей, проведённой через точку М вне круга, на её внешнюю часть равно квадрату касательной (рис. 43).

Доказательство. Из подобия Δ АТМ и Δ ВТМ (Ð М – общий, Ð А = Ð ВТМ) имеем , или МА МВ = МТ ².

Теорема 6. Если на сторонах угла с вершиной М взяты точки А, В, С (рис. 44) так, что МА МВ = МС ², то МС – касательная к окружности, проведённой через точки А, В, С.

Доказательство. Проведём окружность через точки А, В, С. Пусть С ₁ – вторая точка пересечения прямой МС с этой окружностью. Тогда по теореме 1 МС МС ₁ = МА МВ. Но по условию МА МВ = МС ². Поэтому МС МС ₁ = МС ², или МС ₁ = МС. Значит, точки С ₁ и С совпадают. Прямая МС имеет с окружностью общую точку и поэтому она – касательная.

Задача 1. В круг поместили замкнутую ломанную из пяти звеньев одинаковой длинны. Каждое звено ломаной продолжили до пересечения с окружностью отрезками зелёного и синего цвета, причём из одной вершины ломаной выходят отрезки разного цвета. Доказать, что сумма длин зелёных отрезков совпадает с суммой длин синих.

Доказательство. Пусть звенья ломаной АВСDЕ, находящейся в круге, имеют длину а, з_і и с_і – длины отрезков, продолжающих і-ое звено ломаной до окружности (рис. 45). По теореме 3 будем иметь

с ₁ (а + з ₁ ) = з ₅ (а + с ₅ ),

с ₂ (а + з ₂ ) = з ₁ (а + с ₁ ),

с ₃ (а + з ₃ ) = з ₂ (а + с ₂ ),

с ₄ (а + з ₄ ) = з ₃ (а + с ₃ ),

с ₅ (а + з ₅ ) = з ₄ (а + с ₄ ).

Сложив эти равенства и отбросив равные произведения с ₁ з ₁, с ₂ з ₂, с ₃ з ₃, с ₄ з ₄, с ₅ з ₅ из обеих частей, получим (с ₁ + с ₂ + с ₃ + с ₄ + с ₅ ) а = (з ₁ + з ₂ + з ₃ + + з ₄ + з ₅ ) а, откуда следует искомое равенство.

7.2. Из теорем 1 и 3 следует, что величина a ² – R ² является характеристикой взаимного расположения круга и точки из плоскости круга, где а – расстояние от точки до центра круга, R – радиус круга. Величину a ² – R ² называют степенью точки по отношению к кругу.

Теорема 7. ГМТ, которые имеют одну и ту же степень в отношении двух кругов, есть перпендикуляр к линии их центров.

Доказательство. Пусть О и О ₁ – центры кругов с радиусами R и R ₁ (рис. 46). Пусть точка М имеет одинаковые степени по отношению к двум кругам. Тогда

ОМ ² – R ² = O ₁ M ² – R ₁², откуда

ОМ ² – O ₁ M ² = R ² – R ₁².

По следствию 4.3 точка М принадлежит определённому перпендикуляру к прямой ОО ₁. Пусть N –произвольная точка перпендикуляра к прямой ОО ₁, который определён условием ОМ ² – O ₁ M ² = R ² – R ₁².

Тогда ОN ² – O ₁ N ² = R ² – R ₁², или ОN ² – R ² = O ₁ N ² – R ₁².

Последнее равенство означает, что точка N имеет одинаковые степени по отношению к двум кругам. Доказательство остаётся в силе, если, например, R ₁ = 0.

Следствие 3. ГМТ, степени которых по отношению к заданной точке равны, есть перпендикуляр к прямой, которая проходит через эту точку и центр окружности.

ГМТ, о которых идёт речь в теореме 7 и следствии 3, называются радикальной осью двух кругов и радикальной осью круга и точки соответственно.

Следствие 4. Два концентрических круга не имеют радикальной оси.

Следствие 5. Радикальная ось двух пересекающихся кругов проходит через точки пересечения соответствующих окружностей.

Действительно, степени точек А и В (рис. 47) по отношению к каждому из кругов О и О ₁ равны нулю.

Следствие 6. Радикальная ось касающихся кругов совпадает с их общей касательной, проведённой через точку касания.

Действительно, если бы радикальная ось имела с окружностью О одну, кроме А, общую точку В (рис. 48), то эта точка должна была иметь степень О и в отношении к кругу О ₁. Поэтому она принадлежала бы и окружности О ₁. Но окружности не имеют других общих точек, кроме А. Поэтому радикальная ось является касательной к окружности О, и значит, к кругу О ₁.

Следствие 7. Радикальные оси любых двух из трёх окружностей или параллельны, или пересекаются в одной точке.

Действительно, если какие-нибудь две из трёх радикальных осей имеют общую точку, то через неё пройдёт и третья радикальная ось.