Точки перегиба

Пусть функция f(x) дифференцируема при x = x_o, а уравнение касательной к графику функции f(x) в точке . Если разность f(x) -Y(x) меняет знак при переходе через точку х_o, то

Эта точка называется точкой перегиба функции f(x).

Теорема 50. (необходимое условие существования точки перегиба).

Пусть 1) ,

2) х_o - точка перегиба.

Тогда 1),2) Þ = 0

Доказательство. Пусть ; уравнение касательной к графику функции в точке , то

есть . Тогда в силу формулы Тейлора:

при

Если , то знак разности в некоторой окрестности совпадает со знаком числа . В этом случае разность не меняет знака в точке и, следовательно, не является точкой перегиба. Итак, если точка перегиба функции , то . ¨

Теорема 51. (достаточное условие перегиба)

Пусть 1) $f’(x₀) xÎ(a,b)

2) $f’’(x) "xÎ

3) f’’(x₀ - 0)×f’’(x₀ + 0)<0

Тогда 1)-3) Þ - точка перегиба.

Доказательство. ;

Знак такой же как и у С изменением знака второй производной меняется и знак . Следовательно, точка перегиба. ¨

Пример 100. Найти точки перегиба функции ;

Решение. Найдем вторую производную

(необходимое условие точки перегиба) меняет знак при переходе через точку . Следовательно, точка перегиба.

Пример 101. Дана функция f(x) = x³-3x² - 4. Найти точки перегиба.

Решение. (x=1точка возможного перегиба). меняет знак при переходе через x=1. Следовательно, x=1 точка перегиба.

Пример 102. Найти точку перегиба функции у = х^1/3.

Решение. Найдем вторую производную функции у = х^1/3., получим у = 2/9х^5/3. В точке х = 0 вторая производная не существует и вторая производная меняет знак при переходе через точку эту точку. Точка (0,0) – является точкой перегиба (рис.46).

у у=х^{1/ 3}

0 х

Рис.46