Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Точки перегиба графика функцииПусть функция дифференцируема на (a, b). Тогда существует касательная к графику функции в любой точке M(x, f(x)) этого графика a < x < b, причем если касательная не параллельна оси Oy, тогда значение производной k=f ¢(x) конечно.
Определение 75. Кривая y = f(x) называется направленной выпуклостью вниз на (a,b), если она расположена не ниже любой касательной к графику функции на (a, b) (рис.45). у у=f(x)
0 х
Рис.45
Определение 76. Кривая y = f(x) называется направленной выпуклостью вверх на (a, b), если она расположена не выше любой касательной к графику функции на (a, b) (рис.46).
y
y=f(x)
0 x Рис.46
Теорема 49. (о направлении выпуклости). Пусть "xÎ(a,b). Тогда а) если , то кривая имеет на (a,b) выпуклость, направленную вниз. б) если , то кривая имеет выпуклость на , направленную вверх. Доказательство. Пусть на . Пусть произволная точка. Покажем, что график функции лежит не ниже касательной, проходящей через точку . Уравнение касательной прямой в точке к кривой : (1) Разложим функцию в окрестности точки по формуле Тейлора: ; (2) Так как по условию имеет на , то согласно теореме Тейлора формула (2) справедлива . Вычитая из (2) (1) получим: . Так как , то или . Аналогично рассматривается случай . ¨
Пример 99. Определить направление выпуклости функции у = lnx в точке х = 2. Решение. y = - 1/х2 у"(2) = -1/4 < 0. Выпуклость функции направлена вверх.
|