Доказательство. 1) Þ $x1,x2Î[a,b]: f(x1) = m, f(x2) = M, m £ f(x) £ M

1) Þ $x₁,x₂Î[a,b]: f(x₁) = m, f(x₂) = M, m £ f(x) £ M

а) M = m Þ f(x) = const = M = m Þ f’(x) = 0 "xÎ(a,b)

б) m < M т.к. f(a) = f(b), то хотя бы одно из значений m или M не принимается на концах отрезка [a,b] т.е. $xÎ(a,b), в которой f(x) принимает или наибольшее или наименьшее значение на (a,b). Так как $f’(x) "xÎ(a,b) то в т. f’(x) = 0 по теореме Ферма. ¨

Геометрическая интерпретация теоремы Ролля.

F (x) удовлетворяющая условиям теоремы Ролля, имеет точку, в которой касательная параллельна оси Ox (рис.37).

у

f ¢(c)=0

0 а C b х

Рис.38

Примечание. Все условия 1)-3) теоремы существенны.

Пример 89. f(x) = x, xÎ[0,1].

Не выполняется условие 3)(рис.38).

у

0 1 x

Рис.39

Пример 90. f(x) = x при xÎ[0,1), f(x) = 0 при x=1

Не выполняется условие 1) (рис.39).

у

0 1 х

Рис.40

Пример 91. Не выполняется условие 2) f(x)ÎC[a,b].

y = |x| или не выполняется условие 3) (Рис.40)

y y=½x½

-1 0 1 х

Рис.41

Теорема 38. (Лагранжа). Пусть 1) "xÎ[a,b] $f(x)

2) f (x)ÎC[a,b]

3) "xÎ(a,b) $f ¢(x)

Тогда 1)-3) Þ $xÎ(a,b): f (b) - f (a) = f ¢(x)(b-a) - (формула

конечных приращений Лагранжа).

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

F(x) = f(x) - l×x, l-число. Если F(a)=F(b) то функция будет удовлетворять условиям теоремы Ролля F(a) = f(a) - la;

F(b) = f(b) - lb; f(a) - l×a = f(b) - lb Þ l = ; По теореме Ролля $xÎ(a,b) F’(x) = 0, F’(x) = f’(x) - l =

f’(x) - = 0; f(b) - f(a) = f’(x)(b - a) ¨

Геометрический смысл теоремы Лагранжа: существует такая

точка x, что касательная к графику (x, f(x)) параллельна секущей. Таких точек может быть несколько(рис.42).

у

y=f(x)

0 a x b х

Рис.42

Примечание. Если положить x=a, x+Dx=b, тогда

f(x₀ + Dx) - f(x) = f’(x + qDx)Dx, 0< q <1, x = x + qDx, xÎ(a,b).

Физический смысл теоремы Лагранжа: существует точка x, где скорость тела, брошенного под углом к горизонту, параллельна прямой, соединяющей начало и конец пути (рис.43).

y v

y=f(x)

0 x x

Рис.43

Теорема 39. (Коши). Пусть 1) "xÎ[a,b] $f(x), g(x),

2) f(x), g(x) ÎC[a,b],

3) "xÎ(a,b) $f’(x), g’(x),

4) g’(x)¹0 "xÎ(a,b).

1)-4) Þ $xÎ(a,b) =

Доказательство. Заметим, что g(b) - g(a) ¹ 0 т.к. g’(x) ¹ 0 "xÎ(a,b). Составим вспомогательную функцию F(x) = f(x) - lg(x).

При F(a) = F(b) функция F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. F(a) = f(a) - l g(a); F(b) = f(b) - lg(b);

f(a) - lg(a) = f(b) - lg(b); l = ; По теореме Ролля

$xÎ(a,b): F’(x) = 0. F’(x) = f’(x)- g’(x) = 0;

= . ¨

Примечание 2. При g(x) = x получим теорему Лагранжа

g (a) = a, g (b) = b, g (x) = x, g’(x) =1 f (b) – f (a) = f ’(x)(b - a).

Пример 92. (к теореме Коши). f(x) = const, g (x) = x – sin x,

а = 0, b = , = - , = - = -ctg ctg = , x=arctg .