Вычисление пределов последовательностей

Рассмотрим, как вычисляются пределы дробно-рациональной функции

В этом случае вопрос о существовании и вычислении предела решается просто

1) Пусть

Разделив числитель и знаменатель дроби на , получим

.

При больших n числитель дроби стремится к p₀, а знаменатель к q₀ т.к. при больших n близки к нулю. Следовательно, предел равен отношению коэффициентов, при наибольших степенях.

Пример 31. Найти предел .

Решение.

2) Пусть тогда

. Разделив на получим

;

Пример 32. Найти предел

3) Пусть тогда разделив числитель и знаменатель дроби на получим

Пример 33. Найти предел .

Решение.

Итак,

Рассмотрим, как вычисляются пределы в случае неопределенностей.

Пример 34.. Найти предел

Решение. Домножая числитель и знаменатель на сопряженное выражение

Пример.. Найти предел

;

Пример 35. Найти предел .

Пример 36.

Решение. Так как -1<sinn<1, то

Последовательности сходятся к нулю,

следовательно, и = 0.

Пример 37. Найти предел .

Решение. Разделим числитель и знаменатель на наибольшую степень n².

Пример 38. Найти предел

Решение.

Пример 39. Найти предел .

Решение. .

Рассмотрим, как вычисляются пределы в случае неопределенностей (

Пример 40. Найти предел .

Решение. Домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение, получим

.

Пример 41. Найти предел .

Решение. ;

Пример 42. Найти предел .

Решение.

Пример 43. Вычислить

Решение. Из неравенства -1<sinn<1 Þ .

Последовательности сходятся к нулю,

следовательно, и