Монотонные последовательности

Определение 35. Последовательность {x_n} называется невозрастающей, если .

Пример 25. - невозрастающая последовательность.

Определение 36. Последовательность {x_n} называется неубывающей, если .

Пример 26. неубывающая последовательность.

Определение 37. Последовательность {x_n} называется возрастающей, если .

Пример 27. {x_n} = { 1, 2, 3, 4,... } - возрастающая последовательность.

Определение 38. Последовательность {x_n} называется убывающей, если .

Пример 28. {x_n} = .

Невозрастающие, неубывающие, возрастающие, убывающие

последовательности называются монотонными последовательностями.

Замечание. Из определения возрастающей последовательности следует, что для установления возрастания последовательности с положительными членами достаточно установить неравенство .

Замечание. Из существования предела суммы, разности и предела произведения частного не следует существование предела каждой из последовательностей. Легко видеть

Пример 29. {x_n} = (-1)ⁿ, {y_n} = (-1)ⁿ⁺¹. Тогда

= 0, а . Хотя ни x_n, ни у_n предела не имеют.

Пример 29. {x_n} = n, {y_n} = n, =0, .

Хотя x_n, у_n пределов не имеют.

Теорема 8. (о существовании предела монотонной ограниченной последовательности).

Пусть 1) {a_n} - монотонно-возрастающая (убывающая),

2) a_n - ограниченна.

Тогда 1),2)Þ x_n=а.

Доказательство. {a_n} - ограничена Þ то имеет точную верхнюю грань. Пусть sup{a_n} = a. Покажем, что x_n = а. По определению точной верхней грани для любого e>0 на множестве

{a_n} найдется число а_n такое, что а_n> a-e. "n>N: |a_n – a | = а - a_n < e,

а это значит x_n = а. ч.т.д.

Пример 30. Показать, что монотонно убывающая последовательность..

Решение.

.