Геометрическая интерпретация предела функции

f(x) = A Û(каким бы малым не был интервал (A-e; А+e)

на плоскости ХОУ найдется интервал (х_o - d,х_o + d), такой, что все точки графика функции y = f(x) лежат внутри интервала

(х - d, х + d) (кроме, быть может, самой точки х_o).

Пример 41. Используя определение предела функции, доказать, что x×sin = 0.

Решение. Возьмем "e >. По определению для e надо найти

такое d >: | x – 0 |< d, при котором Þ | f(x) – 0 | = |x×sin - 0| = |x×sin |< e. Из последнего получим |x×sin |= |x|×|sin | £|x|<e (|sin | £ 1 при x ¹ 0). Отсюда видно, что если взять в качестве d£e, то справедливо и |x×sin | £ e Þ xsin = 0.

Пример 42. Показать, что (3х+1) = 7.

Решение. Возьмем произвольное сколь угодно малое положительное число e>. Найдем значение d, при котором выполняется неравенство |3x + 1 -7| < e Û |3x - 6|<e Û |x - 2|< . Если возьмем

d = , то получим | 3x+1-7|<e, Þ

Пример 43. Доказать, что =4.

Решение. Нужно доказать, что при произвольном e >0 найдется d >0, что будет выполняться при x¹2 неравенство

| - 4÷ < e Û |x + 2 - 4| = |x - 2| < e. Неравенство | -4 | < e

будет выполняться при d = e Þ =4.

4.2. Односторонние пределы x® x₀ ± 0

f(x) = A Û ("e>0)($d>)("xÎC, x₀-d<x<x₀):|f(x)-A|<e

f(x) = AÛ ("e>0)($d>)("xÎC, x₀<x<x₀+d):|f(x)-A|<e

Пример 44. Показать, что = - ¥.

Решение. | - 0 | < e Û | |<e Û | x |> т.к. x < - < 0.

При x< - | - 0 |< e Û = - ¥.

Пример 45. Показать, что = 0.

Решение. Возьмем "e > 0. Найдем d, при котором выполняется

неравенство | - 0 |< e Û | |< e Û | x | > . Возьмем d = ,

тогда при x>d: | - 0 |< e Û = 0.

4.3. Предел функции при x® ± ¥