Признаки существования предела функции

Теорема 14. (необходимость и достаточность существования предела функции в точке x₀, имеющего односторонние пределы функции в точке).

( A) Û () Ù ()Ù

( = = А)

Доказательство. Пусть . Тогда, согласно определению предела функции слева ("e >0 $ "xÎC, ): |f(x) - A|<e. Пусть , тогда по определению предела функции справа ("e >0 $ "xÎC, ):

| f(x) - A |< e. Возьмем . Тогда "x: , выполняется неравенство | f(x) - A |< e.

Согласно определению предела функции по Коши имеем А

Пример 49 56. Показать, что функция f(x)=½x½ в точке x = 0 имеет предел.

Решение. , = = 0,

т.к. Þ .

Теорема 13. (необходимое условие существования предела функции)

Þ($M>0)("хÎХ):½f(x)½<A, (A=const).

Примечание. Обратное утверждение неверно: ограниченная функция может не иметь предела. Например. f(x) = sin при x®0 не имеет предела, хотя и ограничена.