Сходящиеся последовательности

Определение 35. Число а называется пределом числовой последовательности {х_n}, если для любого положительного числа e существует номер N такой, что при n > N выполняется неравенство | х_n – a | < e. При этом последовательность {х_n} называются сходящейся, и имеет своим пределом число а, что символически записывается так: или х_n ®a при n .

Определение 36. Последовательность, не являющаяся сходящейся, называется расходящейся.

Пример 23. Используя определение предела последовательности показать, чтo = 0.

Решение. Возьмем произвольное e > 0, так как

|x_n - 0| = < e Û . Возмем в качестве N целую

часть . Тогда неравенство будет выполнятся при

всех . Так как e - любое, то доказано, что .

B рассмотренном примере возьмем e = 0.01. Тогда начиная с n > N = 100 будет выполняться неравенство < e.