Постановка математической задачи оптимизации

Задачей оптимизации в математике, информатике и исследованиях операций называется задача нахождения экстремума (минимума или максимума) некоторой функции. Обычно рассматривается целевая функция в некоторой области конечномерного векторного пространства, ограниченной набором линейных и/или нелинейных равенств и/или неравенств.

В процессе проектирования ставится обычно задача определения наилучших или оптимальных, в некотором смысле, структуры или значения параметров объектов. Условие оптимальности считается критерием оптимальности. Такая задача называется оптимизационной. Если оптимизация связана с расчетом оптимальных значений параметров при заданной структуре объекта, то она называется параметрической. Задача выбора оптимальной структуры является структурной оптимизацией.

Стандартная математическая задача оптимизации формулируется следующим образом. Среди элементов x₁,x₂,..., x_n, образующих множества Χ, найти такой элемент x⁰, который доставляет экстремальное (минимальное или максимальное) значение f(x⁰) заданной функции f(x).

Для того, чтобы корректно поставить задачу оптимизации необходимо задать:

1. Допустимое множество — множество ;

2. Целевую функцию — отображение ;

3. Критерий поиска (max или min).

Тогда решить задачу оптимизации означает одно из:

1. Показать, что .

2. Показать, что целевая функция не ограничена снизу.

3. Найти .

4. Если , то найти .\

Если минимизируемая функция не является выпуклой, то часто ограничиваются поиском локальных минимумов и максимумов: точек x ₀ таких, что всюду в некоторой их окрестности для минимума и для максимума.

Если допустимое множество , то такая задача называется задачей безусловной оптимизации, в противном случае — задачей условной оптимизации. [6]