Основы теории. Одним из наиболее распространенных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений является метод конечных разностей (МКР)

Одним из наиболее распространенных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений является метод конечных разностей (МКР). Рассмотрим применение МКР для численного решения на ЭВМ простейшего дифференциального уравнения первого порядка:

с начальными условиями X₀, Y(X₀ ) = Y₀..

Решение будем искать в интервале [X₀ , b] и будем полагать, что функция на данном интервале удовлетворяет условиям гладкости.

Разобьем область аргумента Х на множество отрезков длиной DX и разложим функцию Y в ряд Тейлора в окрестности произвольной точки X_i из области существования функции:

Отбрасывая члены ряда, содержащие производные второго и высшего порядков, получаем конечно-разностное выражение первой производной

.

Отсюда .

Вычисляя последовательно от начального значения Y₀ значения Y₁, Y₂, Y₃,...,Y_i+1 по данной формуле, находим искомое решение.

На рис.2 показана форма численного решения, получаемая с помощью таких вычислений.

Рис.2. Схема приближенного решения методом Эйлера.

Данный метод решения обыкновенного дифференциального уравнения носит название метода Эйлера. При достаточно малых величинах шага метод Эйлера дает решение с большой точностью, так как погрешность близка к 0 (DX²) на каждом шаге процесса по методу Эйлера.

В данной блок-схеме x_к - конечное значение координаты Х

Варианты заданий

Дано дифференциальное уравнение первого порядка

,

где f(X,Y) -заданная функция.

Требуется найти численное решение задачи Коши на заданном отрезке [X₀, b] (b > X₀) при начальном условии методом Эйлера с различной величиной шага интегрирования и исследовать влияние величины шага интегрирования на точность решения (сравнение осуществлять с аналитическим решением задачи).

Ниже приведены варианты функций f(X,Y).

Функция может быть задана произвольным набором двух функций j(X,Y), y(X,Y):

f (X,Y)=j(X,Y)+ y(X,Y).

Функции j(X,Y):

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) .

Функции y(X,Y):

1) ; 2) ; 3) ;

4) 3.2; 5) ; 6) ;

7) ; 8) 8.7; 9) .

Решение задачи осуществить в интервале [2, 3] при начальном условии, заданном преподавателем.