Формула Симпсона

S= f(x)dx» x/3· (f(x₁)+ 4f(x₂)+ 2f(x₃)+... +4f(x_n)+ f(x_{n+ 1})),

где x_i = a+ x· (i-1), x=(b- a) /n.

Остаточный член: R=( x)⁴/180: f^!!!!(x_i) =0[( x)⁴]

Для обеспечения требуемой точности при приближенном вычислении значения интеграла по квадратурным формулам на практике часто используется метод последовательного удвоения числа шагов, который заключается в следующем.

Интеграл S вычисляется по квадратурной формуле дважды: сначала при числе шагов, равном n, а затем при числе шагов равно 2n.

Погрешность приближенного значения интеграла Sn, вычисленного по квадратурной формуле при числе шагов, равном 2n, определяется приближенно по правилу Рунге:

,

где для формулы средних и трапеций =1/2, для формулы Симпсона =1/16.

Таким образом, S_n вычисляется для последовательных значений n, 2n, 4n и т. д. Процесс вычисления заканчивается, когда для очередного числа шагов интегрирования не будет получена допустимая погрешность. Начальное число шагов n рекомендуется выбирать от 10 до 100.

Для экономии следует учесть, что при удвоении числа шагов нет необходимости заново вычислять значения подынтегральной функции во всех узлах, так как часть узлов сетки с шагом 2n являлись узлами и ранее, и в них уже вычислялись значения функции.

Следует так же учитывать, что знаки погрешностей у формулы средних и формулы трапеций разные. Поэтому, если есть расчеты по обеим формулам, то можно утверждать, что точное значение интеграла, как правило, лежит между этими результатами.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ.

С использованием ЭВМ вычислить с относительной погрешностью не более 10^-4 значение для исходных данных, приведенных в таблице 1. Вычисление произвести по разработанной самостоятельно программе и с использованием одной из стандартных библиотечных подпрограмм, исследовать влияние числа шагов интегрирования на точность решения задачи. Разработанную программу представить в виде подпрограммы и записать ее в личную библиотеку исходных модулей, обеспечив возможность интегрирования функции, задаваемой пользователем во внешней подпрограмме- функции предусмотрите возможность вывода вместе с величиной интеграла- числа шагов интегрирования (величину шагов интегрирования), при котором достигнута заданная точность.

Таблица 1.Исходные данные

№ п/п	f(x)	a	b	Квадратурная формула
		0,1		прямоугольников
	exsinx		p	трапеций
	(x2- 1)10-2x			средних
	x			Симпсона
	1/(3+2cosx)		p	прямоугольников
	1/(ln2x)			трапеций
	arcsin /		0,3	средних
	x3e2x			Симпсона
	tg3(x/2+p/4)		p/4	прямоугольников
	arctgx			трапеций
	1/(1+ )			средних
	1/(5-3cosx)		2p	Симпсона
	2x/(1-4x)	-2	-1	прямоугольников
	1/[(x+1) ]		3/4	трапеций
	cos(px2)/	0,6	0,7	средних
	(0,3+x2)cos	0,2	0,6	Симпсона
	sin(ex2)/	0,5	0,6	прямоугольников
	e-x/4/(p+x2)			трапеций
	tg(x2/5p)	1,5		средних
	e-0,3x/	0,5	1,5	Симпсона
	(p-x2)sin			прямоугольников
	ln[0,3(p+x)]	-1		трапеций
	ln(p/3-x/5)	-3		средних
	(2,5-x)ctgp/x	1,8	2,3	Симпсона
	1,5/		2,1	прямоугольников