Эквивалентные матрицы

Здесь будет описано понятие ранга матрицы, на основе чего будет дан критерий разрешимости системы линейных уравнений.

Пусть ранг линейного отображения : X ⁿ→ Y ^m (размерность подпространства образов (X ⁿ)) равен r = r (), т.е. существует максимально r линейно независимых векторов , , …, или другими словами имеется r линейно независимых строк матрицы отображения (см.(5)), r ≤ n. В силу изоморфизма равенств = ↔ = А ∙ существует r линейно независимых векторов = А∙ , = А∙ , …, = A∙ или, иначе, имеется r линейно независимых строк матрицы преобразования координат A_mхn (r ≤ m), получающейся из матрицы отображения транспонированием (заменой строк столбцами, = A_mхn).

Поэтому, естественно принять по определению, что ранг матрицы A=A_mхn равен рангу соответствующего линейного отображения:

: X ⁿ→ Y ^m, r (A)= r ( ).

Из вышеприведенных рассуждений следует второе, эквивалентное первому, определение ранга матрицы.