Д. р. першого порядку в неявній формі має вигляд

. (1)

Якщо ж із співвідношення (1) можна виразити , то отримаємо д. р. першого порядку в явній формі

. (2)

Важливою в теорії д. р. є така теорема.

Теорема. (про існування та єдиність розв’язку д. р.). Якщо в д. р. функція та її частинна похідна неперервні в області D, яка містить точку , то існує єдиний розв’язок д. р. , який задовольняє умову для довільної точки .

Означення. Умова , якій задовольняє розв’язок д. р. , називають початковою умовою.

Задача знаходження розв’язку д. р. , який задовольняє початкову умову , носить назву задачі Коші.

Приклад. Розв’язати задачу Коші для д. р. при початковій умові .

Розв’язання. Шляхом інтегрування знаходимо так званий загальний розв’язок , який описує сім’ю парабол. Згідно початкової умови маємо

.

Отже розв’язком задачі є функція - це одна із сім’ї парабол, що проходить через точку М₀ (1,-1). Отриманий розв’язок називається частинним розв’язком диференціального рівняння.

Означення. Загальним розв’язком диференціального рівняння називається функція , яка залежить від сталої С і задовольняє умові:

1) для довільного значення сталої С функція є розв’язком диференціального рівняння;

2) для довільних початкових умов існує таке значення С₀, що .

Означення. Частинним розв’язком диференціального рівняння називається розв’язок, який дістають із загального при заданій початковій умові.

Тепер можна геометрично пояснити зміст теореми про існування та єдиність розв’язку диференціального рівняння: через кожну точку області проходить одна і тільки одна інтегральна крива (див. рис. 3.2).

Розглянемо диференціальне рівняння , обчислимо значення в точці , отримаємо . За геометричним змістом значення похідної в точці М₀ співпадає з кутовим коефіцієнтом дотичної до кривої (, де - кут нахилу дотичної до осі ОХ). Отже, обчислюючи значення похідної в кожній точці області D, отримаємо поле напрямків.

Розв’язати диференціальне рівняння - це означає знайти сім’ю кривих, що відповідають заданому полю напрямків.

Далі перейдемо до вивчення простіших диференціальних рівнянь першого порядку. До них відносяться:

1) диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними;

2) однорідні відносно змінних диференціального рівняння;

3) лінійні диференціальні рівняння.