Диференціальні рівняння вищих порядків

Розглянемо д. р. - го порядку, записане в явній формі

. (1)

Для нього теж має місце теорема про існування та єдиність розв’язку, аналогічна сформульованій в п. 2 для першого порядку.

Теорема. Якщо в рівнянні

функція і її частинні похідні по аргументах неперервні в деякій області, що містить значення

,

то існує і притому єдиний розв’язок д. р. (1), який задовольняє початковим умовам.

(2)

Умови (2) називаються початковими умовами, де - задані числа.

Для диференціального рівняння другого порядку

(3)

ці початкові умови мають вигляд:

(4)

Задача Коші для д. р. -го порядку полягає у знаходженні розв’язку д. р. (1) при заданих початкових умовах (2).

Означення 1. Загальним розв’язком д. р. -го порядку називається функція

,

яка залежить від довільних сталих величин і така, що задовольняє такі умови:

1) вона є розв’язком д. р. (1) для довільних значень ;

2) для довільних початкових умов , при яких д. р. має розв’язок можна указати такі значення , що функція буде задовольняти ці початкові умови.