Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Прямая на плоскости ⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4 Линия на плоскости рассматривается (задается) как множество точек, обладающих некоторым, только им присущим геометрическим свойством. Введение на плоскости системы координат позволяет определять положение точки плоскости заданием двух чисел - ее координат, а положение линии на плоскости определять с помощью уравнения (то есть равенства, связывающего координаты точек линии). Определение. Уравнением линии (или кривой) на плоскости Oxy называется такое уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки линии и не удовлетворяют коорлинаты любой точки, не лежащей на этой линии. Переменные x и у в уравнении линии называются текущими координатами точек линии. Пример 24. Лежат ли точки и на линии ? Решение. Подставив в уравнение линии вместо x и у координаты точки А, получим . Значит точка А не лежит на данной линии. Подставим в уравнение линии координаты точки В вместо x и у . Следовательно, точка В лежит на данной линии. Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат разнее виды уравнений прямой. Пусть - заданная точка прямой l. Вектор , перпендикулярный прямой l, называют нормальным вектором прямой. Пусть - произвольная (текущая) точка прямой. l. Тогда . По свойствам скалярного произведения , то есть (2.25) Полученное уравнение называется уравнением прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
Раскрыв скобки и сгрупировав слогаемые в (2.25), получим . Обозначим , уравнение (2.25) примет вид , (2.26) которое называется общим уравнением прямой на плоскости. Некоторые частные случаи общего уравнения прямой: 1) если , то уравнение приводится к виду . Это есть уравнение прямой, параллельной оси Ох; 2) если , то уравнение приводится к виду , прямая параллельна оси Оу; 3) если , , то получим , прямая проходит через начало координат; 4)если , уравнение прямой принимает вид или , прямая проходит через ось Ох; 5)если , уравнение прямой , или х=0, прямая проходит через ось Оу. Пусть в уравнении (2.26) , тогда перенесем слогаемое С в правую часть и разделим на него обе части уравнения , или . Обозначив , , получим уравнение , (2.27) которое называется уравнением прямой в отрезках, здесь а и b - отрезки, отсекаемые прямой на осях координат. Определение. Вектор , параллельный прямой, называется направляющим вектором прямой. Пусть - заданная точка на прямой l, - направляющий вектор этой прямой, - произвольная точка прямой l. Тогда , . Используя условие (2.13), получим: (2.28) Полученное уравнение (2.28) называется каноническим уравнением прямой, или уравнением прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору. В частности, если прямая l параллельна оси Ох, то ее направляющий вектор и уравнение (2.28) имеет вид , или . Если , то и уравнение прямой , или . Если в уравнении (2.28) величину отношения положить равной t (t - параметр, переменная величина, ): , то, выразив х и у из уравнений, получим , . (2.29) Уравнения (2.29) называются параметрическими уравнениями прямой. Пусть на прямой l заданы две точки и . Тогда вектор является направляющим вектором прямой и, используя уравнение (2.28), можно записать (2.30) Уравнение (2.30) - уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Пусть - заданная точка на прямой l, - угол наклона прямой к оси Ох, . В качестве направляющего вектора прямой l возьмем единичный вектор , но , тогда , то есть . Используя уравнение (2.28), получим или . Обозначим (k - угловой коэффициент прямой), получим уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении . (2.31) Выразив из (2.31) у: и обозначив , получим уравнение (2.32) которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. В уравнении (2.32) b - ордината точки пересечения прямой с осью Оу. Угол между двумя прямыми и условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Пусть прямые и заданы уравнениями с угловыми коэффициентами и , где , . Требуется найти угол , на который надо повернуть в положительном направлении прямую вокруг точки их пересечения до совпадения с прямой . (по теореме о внешнем угле треугольника) или . Если , то Таким образом (2.33) Если требуется вычислить острый угол между прямыми, не учитывая, какая прямая является первой, какая - второй, то правая часть формулы (2.33) берется по модулю, то есть (2.34) Если , то и . Из формулы (2.33) следует, что , то есть . (2.35) Если , то . Тогда . Отсюда , то есть (или ). (2.36) Если прямые и заданы общими уравнениями и , где и - нормальные векторы прямых, то или (2.37) Если , то , следовательно (2.38) Если , то , то есть . (2.39)
|