Смешанное произведение векторов и его свойства

Определение. Смешанным или векторно-скалярным произведением трех векторов (обозначается ) называется произведение вида .

Пусть заданы векторы , и . Векторное произведение векторов и - это вектор, равный

,

вектор , тогда скалярное произведение векторов , согласно формулы (2.18) имеет вид

или

(2.21)

Свойства смешанного произведения:

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, то есть

2. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых двух векторов - сомножителей, то есть , , .

3. Смешанное произведение ненулевых векторов , и равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны, то есть

(2.22)

векторы , , компланарны ().

4. Смешанное произведение трех векторов с точностью до знака равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах. Можно записать:

(2.23)

Объем тетраэдра (треугольной пирамиды), построенного на векторах , , равен

(2.24)

Пример 20. Даны векторы , и . Найти смешанное произведение векторов , и .

Решение. Воспользуемся формулой (2.21)

Пример 21. Проверить компланарность векторов , и .

Решение. Найдем смешанное произведение векторов , и , используя формулу (2.21):

Так как смешанное произведение данных векторов не равно нулю , тогда по условию (2.22) векторы , и - некомпланарны.

Пример 22. Вершинами пирамиды служат точки , и . Найти объем пирамиды.

Решение. Найдем координаты векторов , и , совпадающих с ребрами пирамиды, исходящими из вершины А.

Находим смешанное произведение векторов , и по формуле (2.21)

Тогда объем пирамиды по формуле (2.24) равен .

Пример 23. При каком значении m векторы , и компланарны?

Решение. Воспользуемся необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов (2.22)

,

Итак, при векторы , и компланарны.