теорема Пифагора

Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.

В истории математики находим утверждения, что эту теорему знали за много лет до Пифагора, например, древние египтяне знали о том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным.

В наше время теорема звучит так (подразумевая не только площади, но и длины сторон прямоугольного треугольника):

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов c 2= a 2+ b 2.

Известны очень многие доказательства теоремы с разными математическими методами, но одни из самых наглядных связаны с площадями.

1. Построим квадрат, сторона которого равна сумме катетов данного треугольника a + b. Площадь квадрата равна (a + b)2:

2. Если провести гипотенузы c, очевидно, что они образовали квадрат внутри построенного квадрата.

Стороны четырёхугольника равны c, а углы — прямые, так как острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают 90°, то угол четырёхугольника также равен 90°, потому что вместе все три угла дают 180°.

Следовательно, площадь квадрата состоит из четырёх площадей равных прямоугольных треугольников и площади квадрата, образованного гипотенузами:

3. На двух сторонах квадрата поменяем местами отрезки a и b, при этом длина стороны квадрата не меняется.

Теперь площадь квадрата можем сложить из двух площадей квадратов, образованных катетами a и b и двух площадей прямоугольников:

4. Из этого следуют выводы:

4⋅ ab 2=2 ab и c 2= a 2+ b 2, что и является одним из доказательств теоремы Пифагора.

Обрати внимание!

Если находим длину гипотенузы c, то выполняем сложение квадратов длин катетов a и b и определяем квадратный корень:

c 2= a 2+ b 2 c = a 2+ b 2−−−−−−√

Если находим длину одного катета, то выполняем вычитание длины квадрата другого катета из квадрата длины гипотенузы и определяем квадратный корень:

a 2= c 2− b 2 a = c 2− b 2−−−−−−√

Обратная теорема используется как признак прямоугольного треугольника.

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник является прямоугольным.

Пример:

Является ли треугольник со сторонами 6 см, 7 см и 9 см прямоугольным?

Выбираем большую сторону и проверяем, выполняется ли теорема Пифагора:

92=62+72;81≠36+49, значит, этот треугольник не прямоугольный.

Является ли треугольник со сторонами 5 см, 12 см и 13 см прямоугольным?

Выбираем большую сторону и проверяем, выполняется ли теорема Пифагора:

132=122+52;169=144+25, значит, этот треугольник прямоугольный.

Чтобы не тратить много времени на решение, полезно запомнить наиболее часто используемые числа Пифагора:

катет, катет, гипотенуза