Примеры определения линейных и угловых перемещений сечений статически определимых балок

Найти перемещения консоли постоянного сечения, загруженной на свободном конце силой F (рис. 14).

В заделке возникает вертикальная реакция R_A = F и изгибающий момент М_A = Fl. Начало координат поместим на левом конце балки.

Изгибающий момент в произвольном сечении, расположенном на расстоянии z от начала координат, определяется по формуле:

M (z) = R_Az – M_A = Fz – Fl,

далее с учетом уравнения упругой линии имеем:

Рис. 9.23. Схема консольной балки, загруженной на свободном конце

Силой

Если жесткость балки – величина постоянная, то интегрируя уравнение упругой линии, получим:

Для нахождения постоянных интегрирования С и D используем граничные условия.

При z = 0 (левый конец балки – заделка) угол поворота и прогиб равны нулю, тогда

Подставляя эти значения в интегралы, находим, что С = D = 0,
тогда

;

.

Определим максимальные значения перемещений:

;

.

Знак «минус» в формуле угла поворота свидетельствует о том, что поворот сечения происходит по часовой стрелке, знак «минус» в формуле прогиба указывает на то, что прогиб происходит вниз (не совпадает с положительным направлением оси у).