Понятие о геометрических характеристиках плоских сечений

Выделим в плоском сечении элементарную площадку dA с координатами х, у (рис. 18.1). Сумма таких площадок – площадь А всего сечения, которая выражается интегралом

Cтатическим моментом площади сечения (рис. 18.1)относительно оси х или у называется взятая по всей площади А сечениясуммапроизведений площадей элементарных площадок на их расстояние до выбранной оси. Он определяется по формулам:

Из данных формул следует:

1) статический момент площади имеет размерность [ L ³];

2) в зависимости от положения осей, относительно которых вычисляется статический момент площади, он может быть положительным, отрицательным или равным нулю.

Рис. 18.1. Схема для определения статического

момента площади плоского сечения

Осевым моментом инерции сечения относительно какой-либо оси называется взятая по всей площади А сечениясумма произведений площадей элементарных площадок на квадраты их расстояний до взятой оси (рис. 18.1), что выражается следующими интегралами:

,

Геометрическая характеристика, которая представляет собой взятую по всей площади А сечениясумму произведений площадей элементарных площадок на произведение их расстояний до двух данных взаимно перпендикулярных осей (см. рис. 5.1), называется центробежным моментом инерции сечения относительно осей х и у и определяется по формуле

Полярным моментом инерции сечения относительно начала системы координат хОу называется геометрическая характеристика, величина которой определяется равенством

,

где r – расстояние от начала координат до элементарной площадки dA.

Согласно рис. 18.1 имеем:

,

тогда

,

Таким образом, сумма осевых моментов инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции сечения относительно точки пересечения этих осей.

Общие свойства моментов инерции:

1) размерность моментов инерции [ L ⁴];

2) осевые и полярный моменты инерции всегда положительны. Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным или равняться нулю.