Стандартная задача. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины, зная закон ее распределения

x │ -1 │ 2 │ 1

p │ 0,2 │ 0,4 │ 0,4

1. Условие задачи

а) x – дискретная случайная величина.

б) x₁ = -1, x₂ = 2, x₃ = 1

в) р₁ = 0,2, р₂ = 0,4, р₃ = 0,4

г) x│ -1 │ 2 │ 1

р │ 0,2 │ 0,4 │ 0,4

д) Найти математическое ожидание М (x), дисперсию Д (x) и среднее квадратичное отклонение σ(x).

2. Решение задачи

а) М (x) = x₁p₁ + x₂p₂ + … +x_np_n

M (x) = -1 · 0,2 + 2 · 0,4 + 1 · 0,4 = -0,2 + 0,8 + 0,4 = 1,0

Д (x) = М (x²) – М² (x)

М (x²) = x₁²p₁ + x²₂p₂ + … + x²_np_n

M (x²) = 1 · 0,2 + 4 · 0,4 + 1 · 0,4 = 0,2 + 1,6 + 0,4 = 2,2

Д (x) = 2,2 - (1,0)² = 2,2 - 1,0 = 1,2

___

σ(x) = √1,2 = 1,1

3. Ответ задачи

а) М (x) = 1,0; Д (x) = 1,2, σ (x) = 1,1

б) Среднее значение случайной величины равно 1,0. Дисперсия равна 1,2. Среднее квадратическое отклонение от среднего значения равно 1,1.

Стандартная задача 2

Дисперсия случайной величины x равна 0,3. Найти дисперсию следующих величин: а) 2x – 1; б) -3x + 2; в) -4x.

1. Условие задачи

а) x – дискретная случайная величина

б) Д (x) = 0,3

в) Найти Д (2x – 1), Д (-3x + 2); Д (-4x)

2. Решение задачи

а) Используем свойства дисперсии

Д (С) = 0, Д (Сx) = С²Д (x), Д (x¹ + x²) = Д (x¹) + Д (x²)

б) Д (2x – 1) = Д (2x) – Д (1) = 4 · Д (x) – Д (1) = 4 · 0,3 – 0 = 1,2

Д (-3x – 2) = Д (-3x) + Д (2) = 9 · Д (x) + Д (2) = 9 · 0,3 + 0 = 2,7

Д (-4x) = (-4)² · Д (x) = 16 · 0,3 = 4,8

3. Ответ задачи

Д (2x – 1) = 1,2

Д (-3x + 2) = 2,7

Д (-4x) = 4,8

Литература

1. А. И. Карасева, З. М. Аксютина, Т. И. Савельева. Курс высшей математики для экономических вузов. М., 1982, стр. 37-58.

Задачи

11.1. Игральная кость брошена три раза. Написать закон распределения числа появления шестерки.

11.2 Найти математическое ожидание дискретной случайной величины, зная закон ее распределения:

11.3. Даны две случайные величины

x │ 1 │ 2 у │ 0,5 │ 1

p │ 0,7 │ 0,8 р │ 0,8 │ 0,7

Найти математическое ожидание величины 2x + 3y

11.4. Случайные величины x, y, z независимы. Найти математическое ожидание случайной величины x + 4y - 8z, если М (x) = 3, М (y) = 7, М (z) = 1.

11.5. Случайные величины x, y независимы. Найти дисперсию случайных величин x + 5y и 3x + 6, если Д (x) = 2, Д (y) = 6.

11. 6. Дисперсия случайной величины x равна 5. Найти дисперсию следующих величин: а) x – 1; б) -2x; в) 3x + 6.

11.7. Случайная величина задана законом распределения

Найти среднее квадратичное отклонение.

11.8.. Независимые случайные величины Х и У имеют следующие распределения.

Х 1			У -1 1 5
Р 0.3	0.5	0.2	Р 0.6 0.2 0.2

Найти закон распределения случайной величины: Z =3X + Y, М(Z) и Д (Z).

11.9. Возможные значения случайной величины таковы: x₁ = 2, x₂ = 0, x₃ = 3. известны вероятности первых двух возможных значений р₁ = 0,4, р₂ = 0,15. Составить закон распределения дискретной случайной величины x и найти её числовые характеристики.

11.10. На животноводческой ферме было осуществлено контрольное взвешивание стада свиней из 100 голов. Получены следующие результаты: 40 % имеют массу 55 кг, 26 % - 60 кг, 14 % - 65 кг и 20 % - 70 кг. Определить дискретную случайную величину, характеризующую варьирующий признак - массу животного, записать ее ряд распределения и найти среднюю массу животных, содержащихся на этой ферме.

11.11. На опытном поле случайно выбирают колоски ржи и подсчитывают число зерен в колосе. Из 10 отобранных колосьев в 5 было 12 зерен, в 4-х по 20 и в одном по 26. Определить дискретную случайную величину и составить ряд распределения и найти её основные числовые характеристики.

11.12. На ферме было произведено контрольное взвешивание телят. Были получены следующие результаты: 20 % телят имели массу около 300 кг, 30 % приблизительно 250 кг, 10 % - 200 кг, 15 % - 180 кг и 25 % - 160 %. Записать закон распределения случайной величины, характеризующий варьирующий признак - масса телят. Найти математическое ожидание массы телят, дисперсию и среднее квадратичное отклонение от нормальной массы.

11.13. Случайная величина x, характеризующая варьирующий признак - вес зерна из некоторой пробы имеет следующий ряд распределения:

x │30 │ 40 │ 50 │ 60

p │0,1 │ 0,4 │ 0,3 │ 0,2

Найти математическое ожидание веса зерна и его среднее квадратическое отклонение от среднего значения.

11.14. Математическое ожидание массы одного помидора М (x) равно 0,1 кг. Математическое ожидание числа помидоров на кусте М (y) равно 18, а математическое ожидание числа кустов на участке М (z) равно 150. Найти математическое ожидание суммарного урожая с участка.

11.15. Из снимаемых помидоров 20 % имеет массу 60 г, 40 % - 70 г, 30 % - 30 г,

10 % - 90 г. За неделю с 30 % всех кустов снимают по 3 помидора, с 50 % всех кустов - по 4 помидора, с 20 % по 5. Сколько всего кг помидоров будет снято за неделю с участка, на котором имеется 200 кустов?

11.16. Написать закон распределения дискретной случайной величины Х – числа появлений «герба» при трёх бросаниях монеты. Записать функцию распределения и начертить её график.

11.17. Вероятность поражения стрелком мишени приодном выстреле равна 0,8. Написать закон распределения дискретной случайной величины Х – числа поражения мешени стрелком при четырех выстрелах. Записать функцию распределения и начертить её график.