Перечень понятий темы

Вероятность отклонения постоянной вероятности события от частоты появления.

Определения понятий темы

Иногда важно знать число испытаний, необходимых для того, чтобы с заданной вероятностью Р отклонение частоты события А от постоянной вероятности р по абсолютной величине не превзошло данное положительное число ε или границы, в которых с заданной вероятностью Р находится частота события. Это можно определить по формуле, вытекающей из интегральной формулы Лапласа.

Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 до 1, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что в n независимых испытаниях абсолютная величина отклонения частоты события А от его вероятности р не превзойдёт данного положительного числа ε, находится по формуле:

__ε___m_ ____

P (│m-np│< ε) = 2^Ф (√ npq) или Р (│n - p│< ε) = 2^Ф (ε √ _n__)

Pq

Стандартная задача

Вероятность того, что электролампочка, изготовленная данным заводом, является бракованной, равна 0,02. Для контроля отобрано наудачу 1000 лампочек. Оцените вероятность того, что частота появления бракованных лампочек в выборке отличается от вероятности 0,02 менее, чем на 0,01.

1. Условие задачи

а) А – событие, что электролампочка является бракованной.

б) р = 0,02. в) n = 1000, ε – 0,01/

г) Оценить вероятность того, что частота бракованных лампочек в выборке отличается от вероятности р = 0,02 менее, чем на 0,01.

2. Решение задачи

_m_ ______

Р (│n - p│< ε) = 2^Ф (ε √ _n__

Pq

__m__ _ __________ __ __

Р (│1000 - 0,02│< 0,01) = 2 Ф (0,01 √ ___ 1000 __) = 2 Ф (0,01 ∙ 100 √ 5) = 2 Ф (√ 5) =

0,02 ∙ 0,98

= 2 Ф (2,24) = 2 ∙ 0,4875 = 0,9750

3. Ответ: Частота появления бракованных лампочек в выборке отличается от вероятности их появления менее, чем на 0,01.

Литература

1. А. И. Карасева, З. М. Аксютина, Т. И. Савельева. Курс высшей математики для экономических вузов. М., 1982, стр. 33-34.

Задачи

10.1. Вероятность появления события в одном испытании 0,8. Найти вероятность того, что при повторении этого испытания 625 раз частота появления события отклонится от вероятности не более, чем на 0,04.

10.2. Вероятность появления на свет петушка 0,5. Сколько яиц надо взять, чтобы с вероятностью 0,7698 можно было ожидать выполнения неравенства:

_ n _

│m - 0,5│≤ 0,02, где m – число появившихся петушков, n – число яиц.

10.3. Вероятность вызревания кукурузного стебля с тремя початками равна ¾. Определить вероятность того, что среди 3000 стеблей частота появления стеблей с тремя початками будет отличаться по абсолютной величине от вероятности вызревания стебля не более, чем на 0,02.

10.4. Вероятность того, что из взятого наудачу яйца вылупится петушок, равна 0,5. В инкубатор заложили качественных 38416 яиц. Определить вероятность того, что число выведенных курочек будет отличаться от наиболее вероятного числа их появления не более, чем на 208 штук.

10.5. Всхожесть семян характеризуется вероятностью р = 0,85. Определить, сколько нужно посеять семян, чтобы с вероятностью 0,999 можно было утверждать, что число проросших семян будет отличаться от наиболее вероятного числа их прорастания не более, чем на 300 штук.

10.6. Всхожесть хранящегося на складе зерна равна 80%. Отбирают наудачу 100 зерен. Доказать, что всхожесть зерен будет отличаться от вероятности всхожести не более, чем на 0,1.