Определения понятий темы. При больших значениях m и n пользоваться формулой Бернулли неудобно

При больших значениях m и n пользоваться формулой Бернулли неудобно. В этом случае используют формулы приближенного вычисления.

__ 1 __

Рn (m) = √ npq · φ (x)

Эта формула носит название локальной формулы Лапласа

_x₂ _

φ (x) = e 2 -называется малой функцией Лапласа. Её значение для

m-np __

аргумента x = √ npq табулированы.

Она обладает свойством четности: φ (-x) = φ (x).

Если нужно найти вероятность появления события А в n повторных испытаниях от m₁ до m₂ раз, то используют интегральную формулу Лапласа:

Pn (m₁m₂) = Φ (x₂) - Φ (x₁)

__1__ _x

Где: Ф (x) = √ 2 π ₀ ∫ e^-x2/2 dх - называется большой функцией Лапласа.

_m₁-np__m₂-np__

Её значение для аргументов x₁ = √ npq и x₂ = √ npq так же табулированы.

Для всех значений x > 5 полагают Ф (x) = 0,5. Большая функция Лапласа нечетная:

Ф (-x) = - Ф (x).

Если вероятность р появления события А при повторных испытаниях мала, то используют формулу Пуассона:

_ μ^m__

Р_n (m) = m! e^-μ

Где μ = n · p m! = 1 · 2 · 3 … m

Алгоритм решения стандартной задачи с применением локальной формулы Лапласа

1. Условие задачи

а) По тексту задачи, определить случайное событие (А).

б) Записать вероятность появления события А в одном испытании. Если она не дана, то найти её. Для этого нужно записать число благоприятствующих исходов (m) и число всех исходов (n) для события А при одном испытании.

_m _

Вероятность Р (А) = р = n

в) Найти вероятность непоявления событие А в одном испытании q = 1 - p.

г) Определить число испытаний n и число испытаний, когда событие А должно произойти m.

д) Обосновать, что данные испытания являются повторными и почему требуется применение теоремы Лапласа.

е) По вопросу задачи определить неизвестную величину Р_n (m) -?

2. Решение задачи ____

а) Найти √ npq _m-np__

б) Посчитать x = √ npq

в) По таблице функции Лапласа найти φ (x). Надо помнить, что φ (-x) = φ (x).

(См. Приложение 1 на стр. 30). __1___

г) Найти вероятность по формуле Р_n (m) = √ npq ∙ φ (x).

3. Полный ответ задачи

а) Чему равна искомая величина?

б) Соответствует ли ответ задачи реальным условиям задачи?