Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как противостоять манипуляциям мужчин? Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Геометрический смысл модуля и знака Якобиана





Модуль якобиана есть предел отношения площадей бесконечно малых площадок ΔD и ΔD΄.

Геометрический смысл знака якобиана состоит в том, что в случае положительного якобиана ориентации контуров, ограничивающих области D' и D при отображении совпадают, а при отрицательном — отличаются.

3.Двойной интеграл в полярной системе координат(как частный случай).

 

Связь между переменными в декартовой и полярной системах координат:

(см. рис. 2.2)

Рисунок 2.2
(2.5)

 

Рисунок 2.3
Якобиан при переходе в полярную систему координат: . (Убедитесь в этом, вычислив якобиан самостоятельно по формуле (2.2))

Теперь формула (2.3) примет вид:

(2.6)

 

 

Заметим, что при переходе к полярным координатам область не меняется.

Область интегрирования в полярной системе координат назовём радиально правильной, если она заключена в секторе между лучами и и ограничена в нём двумя, не пересекающимися во внутренних точках сектора, кривыми с уравнениями . (См. рис. 2.3)

 
Тогда двойной интеграл по такой области преобразуется в повторный следующим образом:

(2.7)

 

Площадь плоской фигуры в полярной системе координат вычисляется по формуле

(2.8)

Замечание. К полярным координатам удобно переходить, когда подынтегральная функция зависит от и в уравнениях границы области содержится эта же комбинация.

Пример 2.1 Область задана неравенствами , и Преобразуем двойной интеграл в повторный, изменим порядок интегрирования и перейдём к полярным координатам.

 

Решение. Построим заданную область, ограниченную двумя окружностями и прямой (см. рис. 2.4).

Выразим поочерёдно из уравнений всех частей границы, чему равны переменные . Перейдём к полярной системе и выразим

(Обратите внимание на знаки перед корнями!)

Данная область не является - правильной, т.к. её нижняя граница состоит из двух частей. Поэтому разобьём её на две части прямой так, чтобы в каждой из этих частей было по одной нижней границе (см. рис. 2.4).



 

 

Рисунок 2.4

 

Тогда .

В - правильной области переменные изменяются так, что .

В - правильной области имеем .

И тогда

Пределы интегрирования в повторном интеграле расставлены.

Поменяем порядок интегрирования. Область не является - правильной, т.к. её правая граница состоит из двух частей. Поэтому разобьём её на две части прямой так, чтобы в каждой из этих частей было по одной правой границе (см. рис. 2.4). Тогда в - правильной области переменные изменяются так, что , а в - правильной области . И теперь

 

Далее расставим пределы в повторном интеграле, перейдя к полярным координатам. Область в полярной системе координат является радиально правильной, т.к. в ней переменные изменяются так, что Отсюда следует, что

Выполнены все три варианта расстановки пределов в повторных интегралах.

4.Обобщённые полярные координаты.

При решении некоторых задач удобна следующая замена переменных, которая существенно упрощает вычисление интеграла.

,

Здесь переменные называются обобщёнными полярными координатами.

Пример 2.2Вычислим площадь области, ограниченной астроидой .

Решение. Построим астроиду (см. рис. 2.5).

Введём обобщённые полярные координаты: , и показатель α подберём так, чтобы при подстановке в уравнение астроиды получилось уравнение единичной окружности. Для данной задачи такой показатель равен трём.

 

 

Рисунок 2.5

Действительно, , или .

Якобиан отображения при этом равен .

Далее, по формуле (2.4) составим интеграл для вычисления искомой площади :

Область является радиально правильной. Расставим пределы в повторном интеграле и вычислим его.

.

Замечание. После расстановки пределов интегрирования оказалось возможным взять интегралы по и отдельно друг от друга, как их произведение, поскольку пределы внутреннего интегрирования постоянны.

Домашнее задание к занятию 2:ОЛ-6 №№2161, 2163, 2167, 2170, 2181 или ОЛ-5 №№ 8.42, 45, 49, 51, 60, 63.

Дополнительный пример 2.3.Вычислить площадь замкнутой области , образованной пересечением следующих кривых:

Решить задачу с помощью перехода к новой системе координат. Проверить решение в среде MathCad.

Решение.

Если ввести координаты , то в системе координат область отобразится в область , представляющую собой прямоугольник, заключённый в пределах , . (См. рис.2.6)

 

Рисунок 2.6

Для вычисления площади области D применим формулу :

Сначала выразим переменные x и через u и v, так как для вычисления Якобиана преобразования нам необходимо осуществить переход

Получим систему: .

Якобиан преобразования :

Область , напомним, представляет собой прямоугольник (см.рис.2.6), подынтегральная функция может быть разбита на множители, поэтому при переходе от двойного интеграла к повторному он распадётся на произведение двух независимо вычисляемых интегралов:



.








Date: 2015-10-19; view: 1102; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2018 year. (0.007 sec.) - Пожаловаться на публикацию