Определение двойного интеграла. Теорема о его существовании. Рис. 1.1 Пусть на координатной плоскости XOY дана замкнутая, ограниченная область D с кусочно-гладкой границей

Разобьём область D на n элементарных областей, не имеющих общих внутренних точек, с площадями и диаметрами .

( - наибольшее расстояние между точками элементарной области). В каждой элементарной области выберем произвольную точку , в которой вычислим значение функции .

Составим сумму: . (1.1)

Эта сумма называется интегральной.

Определение. Двойным интегралом от функции f(x,y) по области D называется предел интегральной суммы (1.1) при неограниченномвозрастании числа разбиений n области D истремлении наибольшего из диаметров разбиения к нулю (если этот предел существует).

(1.2)

Область D называется областью интегрирования.

Теорема существования двойного интеграла. Если функция f(x,y) непрерывна в замкнутой ограниченной области D (с кусочно-гладкой границей, имеющей конечную площадь и диаметр), то она интегрируема по этой области, то есть существует предел интегральной суммы (1.1) при и , не зависящий от способа разбиения D на элементарные области и от выбора точек .