Замена переменных в двойном интеграле. Вычисление двойного интеграла может оказаться затруднительным, и тогда ищут другую систему координат

Вычисление двойного интеграла может оказаться затруднительным, и тогда ищут другую систему координат, в которой интегрирование упростилось бы. При этом происходит преобразование переменных, а также и области интегрирования.

Рисунок 2.1

Пусть взаимно однозначное отображение области D' плоскости UOV

в область D плоскости XOY задано функциями , (2.1)

причём обе функции непрерывно дифференцируемы в области D'.

(см. рис 2.1) При этом отображении площадь элементарной части области и площадь соответствующей части области связаны так, что , где - якобиан этого отображения, отличный от нуля в любой точке области D', кроме, быть может, конечного числа точек (линий), т.е.

(2.2)

Тогда справедлива формула замены переменных для двойного интеграла:

(2.3)

Замечание. При переходе в новую систему координат площадь плоской фигуры (См. свойства двойного интеграла) вычисляется по формуле: (2.4)