Дифференциальные уравнения движения твердого тела

Из общих теорем динамики можно получить дифференциальные уравнения движения твердого тела. При поступательном движении твердого тела все его точки движутся так же, как и центр масс. Поэтому дифференциальные уравнения поступательного движения получим из теоремы о движении центра масс: ; ; , (14.1) где М—масса тела;

x_c, y_c, z_c, -- координаты центра масс тела;

, , -- проекция главного вектора внешних сил на оси координат. Используя дифференциальные уравнения (14.1), можно решать две задачи динамики поступательного движения твердого тела:

1. по заданным уравнениям движения тела определять главный вектор внешних сил, приложенных к твердому телу;

2. по заданным внешним силам, действующим на тело, и известным начальным условиям определять закон движения тела, если оно движется поступательно;

Таким образом, изучение поступательного движения твердого тела сводится к изучению движения одной его точки – центра масс тела.

Из теоремы об изменении кинетического момента системы относительно оси (10.15) с учетом (10.6) можно получить дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела или . (14.2) Уравнение (14.2) представляет собой дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела, с помощью которого можно решать следующие задачи:

1. по заданному уравнению вращения тела и известному моменту инерции определять главный момент внешних сил, действующих на тело: ;

2. по заданным внешним силам, приложенным к телу, и известным начальным условиям вращения и и моменту инерции находить уравнение вращения тела ;

3. по заданному закону вращательного движения тела и известному моменту внешних сил определять момент инерции тела относительно оси вращения.

Если к твердому телу приложен постоянно действующий момент внешних сил, то угловое ускорение тела также будет постоянным, т.е. может вращаться равноускоренно или равнозамедленно. Решение задачи целесообразно проводить в следующем порядке:

1. изобразить тело, вращение которого рассматривается;

2. приложить все активные силы и моменты, действующие на тело;

3. освободить тело от связей, заменив их реакциями;

4. составить уравнение вращательного движения;

5. решить полученное уравнение в соответствии с условием задачи.

ПРИМЕР 19.

Рисунок 46

	К ведущему валу ременной передачи (рис. 46) приложен вращающий момент Мвр=200н/м. Натяжение ведущей и ведомой ветви ремня соответственно равны: Т1=1500Н, Т2=750Н. Определить момент трения в опорах ведущего вала, если вал вращается в соответствии с уравнением , радиус шкива R=0,25м, масса вала со шкивом m=5кг и радиус инерции =0,15м.

РЕШЕНИЕ.

1. На вал действует сила тяжести , вращающий момент М_вр, момент трения в опорах М_тр, реакции опор , , , , натяжение ведущей и ведомой ветвей ремня.

2. Составим дифференциальное уравнение вращательного движения вала . (1) Момент инерции кгм². Момент внешних сил относительно оси вращения . (2) Зная закон вращательного движения, определим угловое ускорение вала . (3) Выразим момент трения в опорах из уравнения (2) с учетом (1) и (3):

Нм.

Так как плоское движение твердого тела состоит из поступательного движения с центром масс и вращения вокруг оси, проходящей через центр масс, то дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела имеют вид: ; ; . (14.3) Первые два уравнения описывают поступательную часть движения тела вместе с центром масс. Третье уравнение выражает закон вращения тела вокруг оси, проходящей через центр масс. При решении задач динамики плоского движения твердого тела необходимо:

1. изобразить все внешние силы, приложенные к телу;

2. выбрать систему координат и определить положительное направление отсчета угла поворота ;

3. составить дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела;

4. решить систему уравнений в соответствии с условием задачи.

ПРИМЕР 20.

Барабан радиуса R весом представляет собой ступенчатый цилиндр с радиусом r=0,6R (рис. 47). К концу намотанной на барабан нити приложена постоянная сила , направление которой задано углом . Кроме силы к барабану приложена пара сил с моментом М=0,3РR. Барабан приводит в движение из состояния покоя и катится без скольжения по шероховатой горизонтальной поверхности. Пренебрегая сопротивлением качения, определить закон движения центра масс С барабана, т.е. и наименьшее значение коэффициента

трения f о плоскость, при котором возможно качение без скольжения. Барабан рассматривать как сплошной однородный цилиндр радиуса R.

РЕШЕНИЕ.

1. Барабан совершает плоскопараллельное движение под действием заданных сил: , и момента М. Полная реакция шероховатой поверхности состоит из нормального давления и силы трения , направленной вдоль горизонтальной шероховатой поверхности. Так как направление движения барабана под действием приложенных сил заранее не известно, направление силы трения показываем произвольно.

; ; (1) .

или ; (2)

; (3)

. (4)

3. Определение уравнение движения центра масс барабана. Так как , , то уравнение (2), (3) и (4) содержат 4 неизвестных величины: N, F_тр, , . Так как центр масс барабана движется по прямолинейной траектории, . Мгновенный центр скоростей барабана находится в точке В: ; ; следовательно, . (5) Момент инерции однородного цилиндра . Подставив (5) в (4), и разделив на R, получим ;

. (6) Сложив равенства (2) и (6), получим (7) или . (8) Дважды проинтегрируем уравнение (8): ; (9)

. (10) Постоянные интегрирования С₁ и С₂ определим из начальных условий:

при t=0; V_C0=0; C₁=0;

x_C0=0; C₂=0. Окончательное уравнение движения центра масс барабана имеет вид: х_с=-0,266gt². (11) Знак «-» показывает, что движение барабана происходит в направлении противоположном положительному направлению оси х.

4. Определение f_min.

При качении без скольжения сила трения удовлетворяет неравенству: . (12) Величину нормального давления N определим из уравнения (3): ; . Значение силы трения F_тр определим из уравнения (6), подставив в него значение : . Подставляя полученное значение силы трения в неравенство (12), получим , откуда . Следовательно, наименьшее значение коэффициента трения, при котором возможно качение барабана без скольжения f_min=0,38.