Теорема об изменении киннетической энергии системы

Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий всех материальных точек, входящих в систему , (13.1) где m_k,V_k—соответственно масса и скорость произвольной точки М_k системы.

Теорему об изменении кинетической энергии механической системы можно использовать в дифференциальной (13.2) или конечной (интегральной) (13.3) форме. Дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему

. (13.2) Изменение кинетической энергии механической системы на каком-то перемещении равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему, на том же перемещении , (13.3) где Т₀, Т – соответственно кинетическая энергия в начале и конце перемещения системы.

Кинетическая энергия твердого тела зависит от вида движения, совершаемого телом. При поступательном движении все точки твердого тела движутся со скоростью, равной скорости центра масс тела. Тогда , (13.4) где М—масса тела.

Для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси с угловой скоростью , мерой инертности является момент инерции тела относительно оси вращения. Следовательно, кинетическая энергия вращающегося тела . (13.5)

Плоское движение твердого тела можно рассматривать состоящим из поступательного движения с центром масс и вращением вокруг оси, проходящей через центр масс. Кинетическая энергия тела при плоском движении будет представлена двумя слагаемыми , (13.6) где -- момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через центр масс тела.

Сферическое движение твердого тела можно рассматривать как вращение вокруг мгновенной оси вращения. Тогда , (13.7) где -- мгновенная угловая скорость тела;

-- момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения.

В общем случае движения свободное твердое тело движется поступательно вместе с центром масс и вращается вокруг мгновенной оси, проходящей через центр масс. Тогда , (13.8) где -- момент инерции тела относительно мгновенной оси, проходящей через центр масс тела.

Если механическая система образована из нескольких твердых тел, кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех тел системы, имеющих массу

. (13.9) Если в начальный момент механическая система находясь в покое, то Т₀=0. Для неизменяемой механической системы работа внутренних сил .

ПРИМЕР 18.

Рисунок 45

Определить угловую скорость блока 3 в тот момент времени, когда перемещение S₁=0,2м, при следующих исходных данных: m₁=4кг, m₃=2,5кг, m₄=6кг, с=320Н/м, =1,4Н/м, F=50(9+2S).

РЕШЕИЕ.

1. Неизменяемая механическая система состоит из тел 1, 3, 4 с известными массами и невесомого блока 2. На систему действуют внешние силы: активные , , , , , реакции , , сила трения и момент М. Для определения угловой скорости блок а3 применим теорему об изменении кинетической энергии неизменяемой механической системы . (1) Так как система начала движения из состояния покоя, то Т₀=0.

2. Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех тел системы, имеющих массу: Т=Т₁+Т₃+Т₄. (2) Кинетическую энергию всех тел системы выражаем с учетом вида движения каждого тела. Груз 1 движется поступательно, блок 3 вращается вокруг неподвижной оси. Подвижный блок 4 совершает плоское движение

Т1= ; Т3= ; (3) Т4= .

I₃, I₄ – момент инерции относительно осей вращения блоков 3 и 4.

Все скорости выразим через искомую угловую скорость ; ; . (3) Моменты инерции блоков (3) и (4) определяем с учетом распределения масс ; . (4) Подставим (3) и (4) в равенства (2)

;

; (5)

.

С учетом равенства (2) получим . (6)

3. Определим сумму работ всех действующих внешних сил на том перемещении, которое будет иметь система, когда груз 1 пройдет путь S₁. . (7) Работа сил , , , , равна нулю, так как реакция перпендикулярна перемещению груза, а остальные силы приложены к неподвижным точкам. Вычисляем работу заданных сил на перемещениях точек их приложения, которые выразим через перемещение груза S₁: дж; дж; дж; дж;

где ; м; дж; дж, где ; . С учетом равенства (7) получим:

дж. (8) Подставим (6) и (8) в (1): ;

, откуда .