V. Элементы функционального анализа

Тема 8. Метрические пространства. Основные понятия

1. Понятие метрического пространства.

2. Примеры метрических пространств.

3. Окрестности точек в метрическом пространстве. Классификация точек и множеств в метрическом пространстве.

4. Определения и свойства открытых и замкнутых множеств точек метрического пространства.

См. список литературы: [1, гл. 3.1 –3.4]; [4, гл. 7.1 –7.2].

Краткие теоретические сведения

1. Метрическим пространством называется произвольное множество М элементов, называемых точками, в котором для любой пары элементов определено число , называемое расстоянием от х до у (или метрикой), обладающее следующими свойствами:

а) для любых , причем тогда и только тогда, когда х = у (аксиома тождества);

б) для любых (аксиома симметрии);

в) для любых (аксиома треугольника).

2. Примеры метрических пространств.

Евклидовы пространства : множество упорядоченных групп из n элементов действительных чисел , где с расстоянием . В частности, при n= 1 возникает пространство (множество действительных чисел R).

Гильбертово пространство . Множество числовых последовательностей , для которых (т.е. ряд сходится). Метрика: .

Пространство непрерывных на функций . Элементы – непрерывные функции на ; .

3. Определение шара в метрическом пространстве. Шаром метрического пространства М с центром в точке и радиусом называется множество точек , удовлетворяющих неравенству .

Задачи

116. Будет ли множество R действительных чисел метрическим пространством, если расстояние между элементами х и у определить формулами:

а) ; б) ?

117. Будет ли множество точек плоскости хОу метрическим пространством, если расстояние между точками и определить формулой ?

118. Доказать, что множество последовательностей , удовлетворяющих условию , образует метрическое пространство, если расстояние между элементами и определить формулой . Что представляет собою в этом пространстве шар , где ? Привести примеры элементов, принадлежащих этому шару.

119. Используя неравенства Коши-Буняковского: ; , показать, что и являются метрическими пространствами.

120. Доказать, что множество М всех ограниченных (не обязательно непрерывных) на отрезке функций образует метрическое пространство, если расстояние между элементами и определить формулой .

121. Доказать, что множество непрерывных на отрезке функций образует метрическое пространство С ₁, если расстояние между элементами и определить формулой .

122. Доказать неравенства Коши-Буняковского для интегралов: а) ; б) .

123. Доказать, что множество непрерывных на отрезке функций образует метрическое пространство С ₂, если расстояние между элементами и определить формулой .