Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Тема 5. Понятие меры Лебега1. Мера открытых и замкнутых множеств на прямой. 2. Внешняя и внутренняя меры линейного множества. 3. Свойства внешней и внутренней меры. 4. Мера Лебега и ее свойства. 5. Множества, измеримые по Лебегу. 6. Измеримость открытых и замкнутых множеств. 7. Теоремы об измеримых множествах. См. список литературы: [4, гл. 5.3 – 5.4]; [5, гл. 3.1 – 3.4]. Краткие теоретические сведения В теории меры Лебега рассматривается вопрос об измерении точечных ограниченных линейных множеств. Понятие меры является обобщением понятия длины промежутка. Например, мерой интервала (a; b) называется его длина, т.е. число b – a. Обозначение: m (a; b) = b – a. Рассмотрим произвольное ограниченное множество Е на прямой. Пусть {A i } – конечная или счетная система непересекающихся интервалов таких, что Е . Тогда {A i } называется покрытием множества Е, а число , где α i = m A i, называется протяженностью (или длиной) покрытия {Ai}. Определение. Внешней мерой m *E множества Е называется нижняя грань протяженностей всевозможных покрытий множества Е: m *E = inf{ }. Внутренней мерой m *E множества E называется число m *E = b – a – m *CΔE, где Δ = [ a; b ] – наименьший отрезок, содержащий Е. В частности, если Δ = [0; 1], то m *E = 1 – m *CE, где СЕ = [0; 1] \ Е. Если m *E = m *E, то множество Е называется измеримым, а общее значение внешней и внутренней мер называется мерой Лебега и обозначается m E. Задачи 76. Показать, что для всякого ограниченного множества Е m *E m *E. 77. Показать, что внешняя и внутренняя меры обладают свойством монотонности, т.е. если Е1 Е2, то m *E1 m *E2 и m *E1 m * E2. 78. Доказать, что любое конечное множество измеримо и мера его равна нулю. 79. Доказать, что мера счетного множества равна 0. Чему равна мера множества рациональных чисел отрезка [0; 1]? 80. Найти меру множества иррациональных чисел отрезка [ a; b ]. 81. Доказать, что мера пустого множества равна 0. 82. Приведите пример двух множеств А и В таких, что А В, А В, но m A = m B. 83. Приведите пример множества Е такого, чтобы m (Int E) = m . Убедиться в том, что для множества иррациональных чисел отрезка [0; 1] указанное равенство не выполняется. 84. Доказать, что если Е1 и Е2 – измеримые множества, то измеримы Е1 Е2, Е1 Е2, Е1 \ Е2. 85. Доказать, что если Е1 и Е2 – измеримые множества и Е1 Е2 = Ø, то m(Е1 Е2) = m Е1 + mЕ2 (свойство конечной аддитивности меры Лебега). 86. Доказать, что если Е1, …, Еn,… – измеримые попарно непересекающиеся множества, то (свойство полной аддитивности меры Лебега). 87. Доказать, что пересечение счетного множества измеримых множеств – измеримое множество. 88. Найти меру множеств Pα и Gα (см. задачу № 75).
|