Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Тема 5. Понятие меры Лебега





1. Мера открытых и замкнутых множеств на прямой.

2. Внешняя и внутренняя меры линейного множества.

3. Свойства внешней и внутренней меры.

4. Мера Лебега и ее свойства.

5. Множества, измеримые по Лебегу.

6. Измеримость открытых и замкнутых множеств.

7. Теоремы об измеримых множествах.

См. список литературы: [4, гл. 5.3 – 5.4]; [5, гл. 3.1 – 3.4].

Краткие теоретические сведения

В теории меры Лебега рассматривается вопрос об измерении точечных ограниченных линейных множеств. Понятие меры является обобщением понятия длины промежутка. Например, мерой интервала (a; b) называется его длина, т.е. число b – a.

Обозначение: m (a; b) = b – a.

Рассмотрим произвольное ограниченное множество Е на прямой. Пусть {A i } – конечная или счетная система непересекающихся интервалов таких, что Е . Тогда {A i } называется покрытием множества Е, а число , где α i = m A i, называется протяженностью (или длиной) покрытия {Ai}.

Определение. Внешней мерой m *E множества Е называется нижняя грань протяженностей всевозможных покрытий множества Е:

m *E = inf{ }.

Внутренней мерой m *E множества E называется число m *E = b – am *CΔE, где Δ = [ a; b ] – наименьший отрезок, содержащий Е. В частности, если

Δ = [0; 1], то m *E = 1 – m *CE, где СЕ = [0; 1] \ Е.

Если m *E = m *E, то множество Е называется измеримым, а общее значение внешней и внутренней мер называется мерой Лебега и обозначается m E.

Задачи

76. Показать, что для всякого ограниченного множества Е m *E m *E.

77. Показать, что внешняя и внутренняя меры обладают свойством монотонности, т.е. если Е1 Е2, то m *E1 m *E2 и m *E1 m * E2.

78. Доказать, что любое конечное множество измеримо и мера его равна нулю.

79. Доказать, что мера счетного множества равна 0. Чему равна мера множества рациональных чисел отрезка [0; 1]?

80. Найти меру множества иррациональных чисел отрезка [ a; b ].

81. Доказать, что мера пустого множества равна 0.

82. Приведите пример двух множеств А и В таких, что А В, А В, но m A = m B.

83. Приведите пример множества Е такого, чтобы m (Int E) = m .

Убедиться в том, что для множества иррациональных чисел отрезка [0; 1] указанное равенство не выполняется.

84. Доказать, что если Е1 и Е2 – измеримые множества, то измеримы

Е1 Е2, Е1 Е2, Е1 \ Е2.

85. Доказать, что если Е1 и Е2 – измеримые множества и Е1 Е2 = Ø, то

m(Е1 Е2) = m Е1 + mЕ2 (свойство конечной аддитивности меры Лебега).

86. Доказать, что если Е1, …, Еn,… – измеримые попарно непересекающиеся множества, то (свойство полной аддитивности меры Лебега).

87. Доказать, что пересечение счетного множества измеримых множеств – измеримое множество.

88. Найти меру множеств Pα и Gα (см. задачу № 75).

Date: 2015-09-24; view: 875; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.007 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию