Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Тема 6. Измеримые функции





1. Функции, измеримые по Лебегу

2. Свойства функций, измеримых по Лебегу.

См. список литературы: [4, гл. 5.5]; [5, гл. 4.1 – 4.2].

Краткие теоретические сведения

Пусть задана некоторая функция f: E → R. Множество решений неравенства f(x) ≤ A будем обозначать символом Е(f ≤ A). Аналогичный смысл имеют обозначения Е(f < A), Е(f ≥ A), Е(f > A).

Функция f: E → R называется измеримой на множестве Е, если:

1) множество Е – измеримо;

2) для любого А множество Е(f > A) – измеримо (- ∞ < A < +∞).

Две функции, отличающиеся друг от друга только на множестве меры нуль, называются эквивалентными. Они обе либо измеримы, либо неизмеримы.

Задачи

89. Показать, что любая функция f(x), определенная на множестве меры нуль, измерима.

90. Показать, что если множество Е(f > A) измеримо для любого А, то измеримы и множества Е(f ≥ A), Е(f ≤ A), Е(f < A).

91. Показать, что функция, тождественно равная постоянной на измеримом множестве Е, измерима на нем.

92. Показать, что функция Дирихле

измерима на любом отрезке [a; b].

93. Показать, что функция f(x) = [ x ] (целая часть х, т.е. наибольшее целое число, не превышающее х) измерима на [ a; b ].

94. Доказать измеримость функции f(x) = φ(x)·sinx на отрезке , где φ(x) – функция Дирихле.

95. Доказать, что если функция (f(x))3 измерима на Е, то и f(x) измерима на Е.

96. Показать, что из того, что функция измерима на Е, еще не следует, что f(x) измерима на Е.

97. Доказать, что если f(x) определена и непрерывна на [ a; b ], то она измерима на нем.

98. Говорят, что некоторое свойство имеет место почти всюду на Е, если оно выполняется во всех точках множества Е за исключением, быть может, некоторого его подмножества меры нуль.

Доказать, что если f(x) непрерывна почти всюду на Е, то она измерима на нем. Будет ли непрерывная функция, заданная на произвольном измеримом множестве Е, измерима на нем?

99. Доказать, что монотонная функция f(x), заданная на измеримом множестве Е, измерима на нем.

100. Пусть функция f(x) измерима на Е. Доказать измеримость следующих функций:

f(x) + K; k · f(x); [f(x)]2; ; (f(x) 0).

101. Доказать, что сумма и разность измеримых функций есть функция измеримая.

102. Если существует такое число М, что для любого разбиения отрезка

[ a; b ] на конечное число частей выполняется неравенство:

,

то функция f(x) называется функцией с ограниченным изменением на отрезке [ a; b ].

Доказать, что функция с ограниченным изменением на [ a; b ] измерима на [ a; b ].

103. Пусть f: E → R и g: E → R – измеримые функции. Доказать, что множество Е(f > g) измеримо по Лебегу.

104. Дана измеримая функция f: E → R и Е1 – измеримое подмножество множества Е. Является ли множество f1) измеримым? Если нет – привести пример.

105. Пусть Е = , где Е, Еi – для любого i измеримы, и

f: E → R. Доказать, что функция f измерима на Е, если она измерима на каждом из Еi.

106. Доказать измеримость следующих функций, определенных на

[0; 1]:

а)

б)

где Р0 – совершенное множество Кантора, G0 – дополнение множества Р0 до отрезка [0; 1];

в)

г)

д)

е)

Date: 2015-09-24; view: 2760; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.006 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию