Теорема Банаха (принцип сжимающих отображений). Всякое сжимающее отображение полного метрического пространства М в себя имеет одну и только одну неподвижную точку

Задачи

130. Отображение А на полупрямой переводит каждую точку в . Является ли оно сжимающим и имеет ли неподвижную точку?

131. Доказать, что всякое сжимающее отображение А метрического пространства Х в метрическое пространство У является непрерывным.

132. Пусть дано отображение отрезка в себя. Доказать, что если , то отображение будет сжимающим.

133. Дано отображение отрезка в себя и . Будет ли иметь решение уравнение ?

134. Показать, что отображение оси Ох в себя имеет единственную неподвижную точку. В качестве приближенного значения корня уравнения взять третий член последовательности , полученной методом итерации, и оценить величину погрешности.

135. Пусть дано отображение оси Ох в себя. Показать, что на луче отображение будет сжимающим. Положив , методом итерации найти 6 членов последовательности . Указать интервал, в котором заключен корень уравнения .

136. Используя принцип сжимающих отображений, доказать теорему существования и единственности решения нормальной системы дифференциальных уравнений: .