Мінімальна структура функціональних залежностей

Функціональна залежність: RÌD1´D2, d1ÎD1, imRd1 –1 елемент.

Якщо реляція бінарна, то функціональна залежність має таке визначення: довільне значення першого атрибуту (його образ) складається з одного елементу.

Узагальнене поняття ФЗ на випадок n-арної реляції:

Нехай RÌD1´...´Dn, n³2, R(AR), M1, M2 ÍAR, тоді "r1ÎR[M1], "r2ÎR[M2] r1tRr2Û$rÎR1, r1 = r[M1] Ù r2=r[M2].

R.M1®R.M2 – означає, що атрибути списку М1 функціонально визначають список М2

R.M1«R.M2 - взаємооднозначність.

Тепер реляції можна розглядати у вигляді (b(AR), f R), де b(AR) - булеан всіх імен атрибутів, f R – структура функціональних залежностей.

Структура функціональних залежностей F називається мінімальною, якщо:

· Кожна права частина залежності в структурі F має один атрибут.

· Антинадлишковість: ніяку функціональну залежність не можна викинути і в результаті отримати еквівалентну. (x®A) Î F, F\{x®A} не еквівалентна F.

· Антинадлишковість лівої частини: ні для якої функціональної залежності не виконується (x®A) Î F & rÎX (X – множина атрибутів), F\{x®A} È {r®A} еквівалентна F.

Теорема: для кожної структури функціональних залежностей F $ еквівалентна їй мінімальна структура.

- проективність

- транзитивність

- монотонність