Задание 5 (дополнительное). Определение сил реакций составной конструкции с помощью

принципа возможных перемещений (ПВП)

Для конструкции, приведенной в задании 1, определить силы реакции и внутренние силы взаимодействия сочлененных тел с помощью методов аналитической механики.

Указания. Задание 5 – на применение принципа Лагранжа (принципа возможных перемещений) для решения задач статики (см. приложение И). При его решении надо рассмотреть равновесие каждого из тел системы, изобразив их отдельно и приложив к ним все внешние силы и силы реакции, действующие на данную часть системы. При этом внутренние силы взаимодействия тел превратятся во внешние для каждого отдельного тела. Система имеет одну степень свободы и у неё одно независимое возможное перемещение. Для составления уравнения необходимо сообщить системе возможное (малое) перемещение и составить уравнение работ всех активных сил на этом перемещении. Дальнейший ход решения задачи разъяснен в примере 6.

Пример 6

На угольник (), конец которого жестко заделан, в точке опирается стержень (рис. 5.0, а). Стержень имеет в точке неподвижную шарнирную опору и к нему приложена сила , а к угольнику – равномерно распределенная на участке нагрузка интенсивности и пара с моментом .

Дано: кН, , , м.

Определить: реакции в точках , , .

Решение:

Рассмотрим способ решения примера 1 с помощью ПВП. Разобьем систему на части в точке соединения стержня и угольника.

1) Рассмотрим равновесие стержня (рис. 5.0, а).

Равномерно распределенную нагрузку заменяем силой , приложенной в середине участка ( кН).

Для применения ПВП отбросим внутреннюю одностороннюю связь в точке , заменив ее действие силой , направленной перпендикулярно к стержню. В результате, полученная система приобрела одну степень свободы: возможным перемещением части является ее поворот вокруг неподвижного шарнира на угол .

Составим уравнение работ, выражающее ПВП. При этом учтем, что работа силы при повороте тела равна произведению момента силы относительно центра вращения на угол поворота тела:

. (1)

Выразим связь между возможными перемещениями точек и и углом поворота стержня:

, .

Подставляем все величины в уравнение для работы (1):

Сокращаем его на и находим

кН.

Чтобы найти реакцию , заменим неподвижную опору в точке ползуном с горизонтальной направляющей и, считая движение стержня поступательным, придадим ему возможное перемещение (рис. 5.0, б).

При этом

.

Применяем ПВП:

. (2)

Вычисляем:

кН.

Аналогично, чтобы найти реакцию , заменим неподвижную опору в точке ползуном с вертикальной направляющей и, считая движение стержня поступательным, придадим ему возможное перемещение (рис. 5.0, в).

,

, (3)

кН.

2) Рассмотрим равновесие угольника (рис. 5.0, г).

Так как в точке – заделка, то угольник может лишь вращаться вокруг этой точки в плоскости рисунка. Таким образом, точка для угольника является мгновенным центром скоростей. Придадим угольнику возможное перемещение и выразим через него возможные перемещения точек и , используя свойства МЦС:

, .

Применяем ПВП:

. (4)

Учитывая, что геометрически

,

,

,

,

,

из (4) находим:

.

Для нахождения реакций и , последовательно помещаем в точке ползуны с горизонтальной (рис. 5.0, д) и вертикальной (рис. 5.0, е) направляющей, как это делалось ранее для точки стержня. Придаем системе возможное поступательное перемещение и применяем ПВП.

,

. (5)

,

. (6)

Из (5) и (6) вычисляем кН, кН.

Ответ: кН, кН, кН, кН, кН, . Знаки минус указывают, что силы , и момент направлены противоположно показанным на рисунках. Ответ совпадает с решением примера 1.