Пример 5

Условие задачи то же самое, что и в примере 4.

Решение:

1. Система имеет одну степень свободы. Выберем в качестве обобщенной координаты перемещение груза 3, полагая, что он движется вниз и отсчитывая в сторону движения (Рис. Д5). Составим уравнение Лагранжа:

. (1)

2. Определим кинетическую энергию всей системы, равную сумме кинетических энергий всех тел:

. (2)

Грузы 3 и 4 движутся поступательно, поэтому шкив 2 вращается вокруг неподвижной оси, следовательно

, , . (3)

Скорости , и выразим через обобщенную скорость :

, , . (4)

Подставляя значения величин (4) в равенства (3), а затем значения , и в соотношение (2), получим:

. (5)

Так как кинетическая энергия зависит только от , производные левой части уравнения (1) примут вид:

,

, . (6)

3. Найдем обобщенную силу . Для этого составим уравнение работ активных сил на перемещении . Воспользуемся соотношением (2) задачи Д5а:

. (7)

.

Коэффициент при в (7) и будет обобщенной силой:

. (8)

Подставляя (6) и (8) в уравнение (1), получим

.

Отсюда находим

м/с²,

что совпадает с ответом примера 4.

Ответ: м/с², что ускорение груза 3 и ускорения других тел направлены противоположно показанным на рисунке.