Пример 4. Механическая система (рис

Механическая система (рис. 4.10) состоит из обмотанных нитями блока 1 радиуса и ступенчатого шкива 2 (радиусы ступеней и , радиус инерции относительно оси вращения ), и из грузов 3 и 4, прикрепленных к этим нитям.

Рис. 4.10

Система движется в вертикальной плоскости под действием сил тяжести и пары сил с моментом , приложенной к блоку 1.

Дано: Н, Н, Н, Н, , м, м, м; м.

Определить: ускорение груза 3, пренебрегая трением.

Решение:

1. Рассмотрим движение механической системы, состоящей из тел 1, 2, 3, 4, соединенных нитями. Система имеет одну степень свободы. Связи, наложенные на эту систему, – идеальные.

Для определения применим общее уравнение динамики:

, (1)

где – сумма элементарных работ активных сил; – сумма элементарных работ сил инерции.

2. Изображаем на чертеже активные силы , , и пару сил с моментом . Сообщим системе возможное перемещение и составим выражение для суммы работ:

.

Выразим через :

.

В результате получим

. (2)

3. Задавшись направлением ускорения , изображаем на чертеже силы инерции , и пару сил инерции с моментом , величины которых равны:

, , . (3)

Сообщая системе возможное перемещение , получим:

. (4)

Выразим все ускорения, входящие в (3) через искомую величину

, ,

а перемещения через :

, , .

В результате получим:

. (5)

Подставив величины и (формулы (2) и (5)) в уравнение (1), и сократив на , найдем:

. (6)

Вычисления дают м/с². Знак указывает, что ускорение груза 3 и ускорения других тел направлены противоположно показанным на рис. Д5.

Ответ: м/с², ускорение груза 3 и ускорения других тел направлены противоположно показанным на рисунке.