Решение систем линейных дифференциальных уравнений операторным методом

Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений

c начальными условиями

Считая функции функциями-оригиналами и переходя к изображениям, получаем систему алгебраических уравнений относительно переменных :

Решая эту систему методом исключений, методом Крамера или матричным методом, находим изображения . Возвращаясь к оригиналам, получаем решение:

Рассмотрим более подробно матричный метод решения полученной алгебраической системы, вводя следующие матрицы:

матрица коэффициентов системы;

матрица искомых функций;

матрица, включающая начальные условия и изображения правых частей.

Исходная система записывается как матричное уравнение:

решением которого является матрица:

Здесь называется преобразователем Лапласа фундаментального решения системы или матрицей Грина. По правилу нахождения обратной матрицы получаем:

Оригинал матрицы называют матричной функцией отклика, фундаментальным решением или матричной функцией Грина:

.

Таким образом, решение системы записывается в виде матрицы:

Переходя к оригиналам в каждой из строк этой матрицы, получаем окончательное решение системы:

Пример 7. Найти решение системы дифференциальных уравнений:

Переходя к изображениям:

получаем систему алгебраических уравнений:

Матрица этой системы имеет вид:

обратная матрица

Введем матрицу

Решение системы имеет вид:

ЗАДАЧИ

1. Решите дифференциальные уравнения

	Условия задачи	Ответ

2. Решите системы линейных дифференциальных уравнений

	Система	Ответ