Основные теоремы о вычетах

Теорема 1. Пусть функция аналитична на всей комплексной плоскости за исключением конечного числа особых точек .

Тогда имеет место соотношение .

Теорема 2. Пусть функция аналитична в области и на ее границе за исключением конечного числа особых точек .

Тогда справедливо .

Применение вычетов к вычислению несобственных интегралов

1. , ;

2. , ;

3. ;

4. , ;

5. ;

6. .

ЗАДАЧИ

1. Схематично постройте множества точек на комплексной плоскости:

1) ; 2) ; 3) (0<t<2p);

1) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) .

2. Выделить действительную и мнимую части функции:

1) ; 2); 3) ; 4) .

3. Вычислить значения функций:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ;

4. Найти интеграл по заданной кривой:

1) ℓ:прямая из (1+i) в (2+i)

2) ℓ: tÎ[0;p]

5. Обосновав аналитичность, вычислить интегралы по формуле Ньютона-Лейбница:

1) ; 2) .

6. Вычислить интегралы по интегральной формуле Коши:

а) ; б) ; в) ;

7. Разложить функцию в степенной ряд в окрестности указанных точек, указать область сходимости, найти вычеты в особых точках:

а) ; z₁=1+i; z₂ = 1; z₃ = ¥;

б) ; z₁=1; в) ; z₁=2i; z₁=-1.

8. Указать все особые точки, определить их характер и найти вычеты в этих точках:

1)	2)
3)	4)
5)	6)

9. Вычислить интегралы, используя теорию вычетов:

1);	2) ;
3) ;	4) 5)	;
6) ;	7)	8)
9) ;	10) ;	11) ;
12)	13) ;	14)
15)	16)	17)
18) ;	19) ;	20) ;