Решение линейных дифференциальных уравнений методом свертки (формула Грина, формула Дюамеля)

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение в операторной форме при нулевых начальных условиях:

.

Пусть входное воздействие является импульсной функцией Поскольку , изображение выходного сигнала совпадает с передаточной функцией:

.

Функцией Грина (или функцией веса в теории управления) линейного дифференциального уравнения называют отклик системы на импульсное входное воздействие или оригинал передаточной функции:

Поскольку изображение выходного сигнала является произведением изображений, то и оригинал можно представить как свертку оригиналов и :

Таким образом, при известной функции Грина можно найти отклик системы на любое внешнее воздействие.

Пример 8. Найти частное решение дифференциального уравнения

,

Взяв в качестве правой части импульсную функцию и переходя к изображениям, получим передаточную функцию:

:

Возвращаясь к оригиналам, получаем функцию Грина:

Теперь, задавая любым образом правую часть x(t), можно найти решение дифференциального уравнения.

Пусть Тогда

Пример 9. Найти частное решение дифференциального уравнения

, .

Правая часть уравнения задана функцией

С учетом того, что функция Грина для этого уравнения имеет вид получаем решение :

Другой способ записи решений дифференциальных линейных уравнений с использованием свертки основан на формуле Дюамеля. Характеристикой системы в этом случае служит переходная функция , которая определяется как реакция (отклик) системы на постоянное воздействие

Из последнего выражения и свойства интегрирования оригинала следует, что функция и связаны соотношениями:

С учетом того, что

,

оригинал

можно записать по формуле Дюамеля следующим образом:

Заметим, что при условии две первых формы записи решения совпадают с записью

Также напомним, что в силу условий вывода формулы Дюамеля приведенные формулы можно непосредственно использовать для непрерывных функций . В том случае, если функция имеют точки разрыва первого рода, следует точно записывать эту функцию, учитывая скачкообразное изменение функции в точках разрыва или другим способом учесть эти изменения. Например, если правая часть имеет вид:

то и формула Дюамеля принимает вид:

Переходя к оригиналам, получаем

Применим формулу Дюамеля для решения примера 9.

Пример 9 (продолжение)

Переходная функция системы имеет вид:

Тогда вычисляя по формуле

с учетом того, что , получаем:

=

ЗАДАЧИ

1. Решите линейные дифференциальные уравнения с использованием свертки (формула Грина, формулы Дюамеля)

а) Решите дифференциальное уравнение для правых частей различного вида

Ответы:

Содержание работы

1.Алгебра случайных событий.

2.Случайные величины. Законы распределений. Числовые характеристики.

3.Математическая статистика. Оценки числовых характеристик. Определения закона распределения по выборке. Критерии согласия.

4.Математическая статистика: оценка коэффициента корреляции по выборочным данным, уравнение линейной регрессии.

Список литературы [2,5,12, 15, 18 ]

Номера задач указаны согласно сборнику задач по математике для втузов

, часть 3 «Теория вероятностей и математическая статистика» под ред. Ефимова А.В.М., «Наука», 1990 (№ 15 в списке литературы, имеется в библиотеке в достаточных количествах)

1. Основные понятия. Алгебра событий. № 14.1, 14.68, 14.69, 14.70,14.5, 14.7 (14.148), 14.80,4.87, 14.139, 14.191, 14.198, 14.207, 14.208-14.211, 14.214, 14.226, 14.227, 14.231, 14.233, 14.243.

2.Случайные величины. Законы распределений. Основные характеристики.

№ 14.312, 14.313, 14.323, 14.352, 14.353, 14.354, 14.278, 14.279, 14.294, 14.297, 14.300, 14.365-14.367,14.536-14.539, 14.558, 14.559, 14.560, 14,570

3. Данные для статистической обработки (задания № 3, 4) каждый студент получает от преподавателя или получает самостоятельно (утверждает у преподавателя). Подробное рассмотрение в электронном пособии (№ 18 в списке литературы)

Лабораторная работа № 1

«Статистическое описание результатов наблюдений. Числовые оценки выборочного распределения. Интервальные оценки для математического ожидания и дисперсии. Проверка гипотезы о виде распределения»

1. Получите выборку из чисел

2. Постройте вариационный ряд (упорядочите элементы выборки по величине). При этом можно использовать соответствующую команду на панели инструментов Excel.

3.Представьте выборку в виде группированного статистического ряда (с.178- 181)

· определите размах выборки

· определите число интервалов группировки одним из способов:

· а) Способ 1: выбираете число интервалов , а затем находите шаг (ширину интервала группировки) , б) Способ 2: выбираете шаг (ширину интервала группировки) по формуле .

· Определите границы интервалов группировки , и так далее до тех пор, пока наибольший элемент выборки не попадет в последний интервал (наилучшая ситуация, если он точно совпадает с верхней границей последнего интервала)

· Найдите середину каждого интервала

· Определите частоты - число элементов выборки, содержащихся в каждом -м интервале. При этом элемент, совпадающий с верхней границей интервала, условимся относить к следующему интервалу.

· Найдите накопленные частоты . При этом сумма частот по всем интервалам должна совпадать с объемом выборки . Если сумма частот по всем интервалам не совпадает с объем выборки, то следует проверить, правильно ли найдены частоты.

· Найдите относительные частоты , которые служат оценкой вероятности попадания элемента выборки в данный интервал

· Найдите относительные накопленные частоты . Значения накопленных частот служат оценкой функции распределения и определяют эмпирическую (выборочную) функцию распределения

· Все полученные характеристики заносим в таблицу, которую называют статистическим рядом (табл. 1.1 на стр. 181)

Номер интервала	Границы интервала	Середина Интервала	Частота	Накопленная Частота	Относитель- ная частота	Накопленная Относитель- ная частота
·	·	·	·	·	·	·
·	·	·	·	·	·	·

· Представить выборку графически (стр. 182-183)

· строим полигон частот - ломаную с вершинами в точках ()

· строим полигон относительных частот - ломаную с вершинами в точках ()

· строим гистограмму -кусочно-постоянную функцию, которая на каждом интервале группировки принимает значение . Площадь ступенчатой фигуры под графиком гистограммы равна объему выборки .

Полигон относительных частот является статистическим аналогом функции плотности вероятности. Гистограмма и полигон частот отличаются от указанной характеристики растяжением в раз. Поэтому все данные функции также являются характеристиками закона распределения генеральной совокупности .

Примечание. Все перечисленные выше операции можно провести вручную или с использованием компьютерных программ. Самое доступное математическое обеспечение – Microsoft Excel при помощи команд: . При этом карманы (интервалы группировки) надо задать отдельно.