Потенціальний характер електростатичного поля

Нехай точковий заряд створює у вакуумі електричне поле . У цьому полі рухається інший заряд . Нехай вас не дивує рух заряду в електростатиці. Електростатика має на увазі, що поле створюється нерухомим зарядом.

З боку нерухомого заряду на рухомий діє сила . Якщо заряд змістився на відстань , над ним виконується робота

З рисунка бачимо, що , тому вираз для елементарної роботи набуває вигляду

.

Робота, яка виконається на певному скінченому шляху, визначається інтегруванням

.

Як бачимо, робота при довільному виборі початкової і кінцевої точок залежить лише від положення цих точок ( проведені до них радіус-вектори), а не від шляху.

Силові поля, робота в яких не залежить від форми шляху, називаються консервативними, або потенціальними.

Отже, електростатичне поле точкового заряду є потенціальним. Внаслідок принципу суперпозиції це справедливе і для будь-якої сукупності точкових зарядів. В загальному випадку будь-яку систему можна розділити на дрібні частини, кожну з яких розглядати як точковий заряд. В число таких зарядів повинні включатися і заряди, що індукуються на провідниках та діелектриках. Тому будь-яке електростатичне поле, не залежно від того, створене воно у вакуумі чи середовищі, є потенціальним.

Давайте розглянемо ще таку ситуацію. Заряд можна перенести з точки 1 у точку 2 шляхом 132 і шляхом 142. Внаслідок потенціальності поля точкового заряду роботи у обох випадках рівні

.

Якщо ж заряд переносити по замкнутій ділянці 13241, то на ділянці 241 знак роботи зміниться, тому

,

звідки

.

Отже, при переміщенні заряду по замкнутому шляху у електростатичному полі робота дорівнює нулю. (Згадайте роботу при оборотному процесі у термодинаміці).

Якщо заряд, що переміщується, є одиничним, то робота зводиться до криволінійного інтегралу . Такий інтеграл називається циркуляцією вектора напруженості електричного поля по відповідному замкнутому контуру. Отже, внаслідок потенціального характеру електростатичного поля маємо

.

Це дає можливість дати інше означення потенціальності поля.

Векторне поле називається потенціальним, якщо циркуляція вектора по будь-якому замкнутому контуру дорівнює нулю.

Із отриманого рівняння випливає, що силові лінії електростатичного поля не можуть бути замкнутими. Доведемо це твердження від супротивного. Нехай силова лінія замкнута, і ми використаємо її у якості контуру для інтегрування. За означенням силова лінія – це лінія, дотична до якої співпадає з напрямком вектора напруженості електричного поля. Кут між дотичною і силовою лінією не перевищуватиме 90°. Отже, , тому при інтегруванні скалярного добутку величина буде домножена на додатню величину (відмінну від нуля). Отже, , що суперечить властивості потенціальності поля.