Теорема Гаусса дозволяє дуже просто і елегантно знайти напруженість електричного поля у багатьох випадках. Розглянемо деякі із них, решту знайдете на семінарах та в підручниках

Нескінченна заряджена площина. Тонка площина заряджена із поверхневою густиною заряду . Електричне поле, створене пластиною, напрямлене перпендикулярно до її площини з міркувань симетрії. Замкнутий об’єм виберемо у вигляді прямого циліндру, вісь якого перпендикулярна площині з площами основ, рівними . Він охопить заряд . Через бічні поверхні потік вектора напруженості електричного поля рівний нулю (рівність нуля косинусу). Тоді треба враховувати тільки потоки через дві основи. За теоремою Гаусса

,

звідки напруженість електричного поля поблизу пластини в системі Гаусса

.

В системі СІ

; .

Звідси поле в системі СІ

.

Поверхня зарядженого металу. При розв’язуванні задачі врахуємо, що поле всередині провідника дорівнює нулю. Провідник має вільні заряди. Ми розглядаємо електростатичну задачу, тобто нерухомих зарядів. За наявності поля у провіднику виникав би струм. Якщо таке поле й виникне, то одразу виникне протилежного знаку, щоб його скомпенсувати. Це випливає із закону збереження зарядів.

Силові лінії електричного поля перпендикулярні границі провідника. Інакше б виникав струм вздовж контактів.

Знову виділимо поблизу поверхні провідника прямий циліндр. Потоку через бічну поверхню не буде, а буде лише через одну основу

.

Напруженість поля поблизу поверхні металу (провідника) в системі Гаусса

.

В системі СІ:

; .

Може здивувати той факт, що в обох випадках визначається поле біля зарядженої поверхні, а результати відрізняються удвічі. Насправді, нічого дивного немає. Силові лінії, що починаються біля провідника, повинні закінчуватись на інших тілах, де індукується заряд. Тому формула практично враховує не тільки заряд площини, а й індукований заряд. Пояснити це легше на прикладі заряду конденсатора.

Поверхневий заряд на одній з пластин конденсатора індукує заряд на другій. На першій пластині виникає поле , на другій – . Поля направлені у протилежних напрямках, тому віднімаються, і сумарне поле становить .

Рівномірно заряджена непровідна куля. Маємо кулю, рівномірно заряджену по об’єму із об’ємною густиною . Із симетрії задачі очевидно, що силові лінії поля будуть напрямлені радіально. Виберемо замкнуту поверхню у вигляді сфери радіуса .

Система Гаусса.

Для : . Сфера охоплює всю кулю. Охоплений заряд становить . Звідси поле поза кулею співпадає із полем точкового заряду, розташованого у її центрі

.

Для : , де . Звідси поле становитиме .

В системі СІ.

: , звідки , .

: , де . Отже ; .

Графічно залежність електричного поля, створеного зарядженою непровідною кулею, наведена на рисунку.

Металева куля. У випадку металевої кулі все співпадає із випадком непровідної кулі, крім того, що всередині металевої кулі поля немає (дивись рисунок).

Нескінченна заряджена нитка. Нехай є нескінченно довга тонка нитка радіусом , заряджена з об’ємною густиною . На одиницю її довжини припадає заряд

.

З симетрії задачі очевидно, що силові лінії поля направлені радіально. У якості замкнутої поверхні виберемо коаксіальний циліндр довільної довжини і радіуса . Очевидно, що потік вектора напруженості електричного поля буде направлений лише через бічну поверхню циліндру.

В системі Гаусса.

: , звідки .

: , звідки .