Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как противостоять манипуляциям мужчин? Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Примеры решения задач. Пример 4. Колебательный контур, состоящий из воздушного конденсатора с двумя пластинами площадью S=100 см2 каждая и катушки с индуктивностью L=l мкГн





Пример 4. Колебательный контур, состоящий из воздушного конденсатора с двумя пластинами площадью S=100 см2 каждая и катушки с индуктивностью L=l мкГн, резонирует на волну длиной λ=10 м. Определить расстояние d между пластинами конденсатора.

Решение. Расстояние между пластинами конденсатора можно найти из формулы электроемкости плоского конденсатора С=ε0εS/d, где ε — диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей конденсатор, откуда

d=ε0εS/C (1)

Из формулы Томсона, определяющей период колебаний в электрическом контуре: , находим электроемкость

. (2)

Неизвестный в условии задачи период колебаний можно определить, зная длину волны λ, на которую резонирует контур. Из соотношения λ =сТ имеем

Т= λ /с.

Подставив выражения периода Т в формулу (2), а затем электроемкости С в формулу (1), получим

.

Произведя вычисления, найдем d=3,14 мм.

6.5.1. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С=5 мкФ и катушки с индуктивностью L=0,200 Гн. Определить максимальную силу тока I0 в контуре, если максимальная разность потенциалов на обкладках конденсатора U0=90 В. Активным сопротивлением контура R пренебречь.

Решение. Рассмотрим два способа решения задачи. Первый из них основан на исследовании уравнения свободных электромагнитных колебаний

, (1)

где – амплитуда свободных (затухающих колебаний);

=R/2L – коэффициент затухания;

w – циклическая частота;

q0 – начальная амплитуда (определяется из начальных условий);

0 – начальная фаза (определяется из начальных условий.

Второй способ основан на законе сохранения энергии.

1. Если в колебательном контуре сопротивление R пренебрежимо мало, то в уравнении (1), выражающем заряд конденсатора как функцию времени, можно положить коэффициент затухания =0. Тогда, согласно выражению

w= ,

получим w0=w. Следовательно, в контуре будут незатухающие колебания, при этом

q=q0sin(wt+0), (2)

Сила тока есть производная от заряда по времени. Поэтому, дифференцируя обе части (2) по времени, получим для силы тока в контуре уравнение



I=w0q0.cos(wt+0).

Величина I0=w0.q0 является амплитудным, т.е. максимальным, значением тока в контуре. Подставив w0= и учитывая соотношение q0=CU0, определим искомую величину:

I0=w0q0=CU0 =U0. .

2. В процессе незатухающих электромагнитных колебаний полная электромагнитная энергия контура, равная сумме энергий электрического поля конденсатора WС=CU2/2 и магнитного поля катушки WL=LI2/2, остается величиной постоянной: W=WС+WL=const. При этом в те моменты, когда конденсатор максимально заряжен (U=U0), сила тока равна нулю. Следовательно, полная энергия контура

. (3)

В момент полной зарядки (U=0), сила тока в контуре достигает максимального значения I0. Тогда полная энергия равна

. (4)

Приравняв правые части формул (3), (4), найдем

.

Подставив значения величин, выраженные в единицах СИ, и произведя вычисления, получим I0=0,45 А.

Ответ: I0=0,45 А.

6.5.2. Добротность колебательного контура Q=5,0. Определить, на сколько процентов отличается частота w свободных колебаний контура от его собственной частоты w0?

Решение. Во всяком реальном контуре, обладающим сопротивлением R, частота свободных электромагнитных колебаний w меньше собственной частоты контура w0 (т.е. частоты колебаний при R®0). В задаче требуется найти величину x=(w0 – w)/w0=1 – w/w0. (1)

Добротность контура выразим через величины w, w0, используя формулы

; ;

и соотношение T=2p/w, откуда имеем

Q=p/=p/T=w/2= . (2)

Введя обозначения a=w/w0, из (2) получим

.

Определив отсюда величину a, на основании (1) найдем

x=1 – a=1 – 2Q/(1+4Q2)1/2. (3)

Переходя к вычислениям, учтем, что в данном случае 4Q2>>1. Поэтому формулу (3) можно упростить. Разделив числитель и знаменатель на 2Q и применив формулы приближенного вычисления, получим

x=1 – 1/(1+4Q2)1/2 ~ 1 – 1/(1+8Q2) ~ 1 – (1 – 1/8Q2)=1/8Q2.

Подставив значение Q, произведем вычисления

x=0,5010-2, или x=0,50 %.

Ответ: x=0,50 %.

6.5.3. В цепи, состоящей из последовательно соединенных резистора сопротивлением R=20 Ом, катушки индуктивностью L=1,0 мГн и конденсатора емкостью C=0,10 мкФ, действует синусоидальная ЭДС Определить частоту w ЭДС, при которой в цепи наступит резонанс. Найти также действующее значение силы тока I и напряжений UR, UL, UC на всех элементах цепи при резонансе, если при этом действующее значение ЭДС E= 30 В.

Решение. Под действием переменной ЭДС в данной цепи, представляющей собой колебательный контур, установятся вынужденные электромагнитные колебания. При этом амплитудные значения I0 и ЭДС E0 связаны соотношением

.

Из формул Iд= ; Eд= видно, что между действующими значениями тока Iд и ЭДС Eд существует то же соотношение, что и между величинами I0, E0. Поэтому (опуская для простоты индексы у величин Iд, Eд) запишем



. (1)

Очевидно, максимальному току при резонансе Iрез соответствует такое значение w, при котором в формуле (1) выражение (Lw – 1/Cw)2=0. Отсюда определяем резонансную частоту:

w=wрез=[1/(LC)]1/2=1,0105 рад/с. (2)

При этом сила тока равна

Iрез=E/R=1,5 А.

Зная силу тока Iрез, найдем действующие значения напряжения на каждом из элементов контура R, L, C, применив закон Ома для каждого из участков

UR=IрезR=E=30 В;

UL=IрезLw=ELw/R=150 В;

UC=Iрез[1/(wC)]=UL=150 В.

Равенство UL=UC следует из равенства емкостного и индуктивного сопротивлений при резонансе.

Ответ: wрез=1,0105 рад/с; Iрез=1,5 А; UR=30 В; UL=150 В; UC=150 В.

6.5.4. Определить действующее значения силы тока на всех участках цепи, состоящей из параллельно включенных C, R, L и E, если R=1,0 Ом, L=1,0 мГн, C=0,110 мкФ, E=30 В, w=1,00105 рад/с.

Решение. Эта цепь отличается от предыдущей способом включения источника переменной ЭДС (внутренним сопротивлением которого мы пренебрегаем). Если раньше все элементы цепи были включены последовательно, то в данном случае имеем разветвленную цепь переменного тока, одна из ветвей которого является параллельным соединением двух ветвей: конденсатора C и элементов R, L, соединенных последовательно между собой. Каждая из ветвей вместе с источником ЭДС образует колебательный (неполный) контур. Поэтому силу тока в каждой ветви снова найдем по формуле

,

заменив амплитудные значения величин I0, ε0 их действующими значениями I, E. Тогда для силы тока в ветви, состоящей из конденсатора C, где R=0, L=0, получим

IC=ECw=0,33 А. (1)

В ветви R-L, где отсутствует емкостное сопротивление RC=1/(wC), сила тока с учетом того, что R2<<(Lw)2 равна

=0,30 А. (2)

Если бы переменные токи в обеих ветвях имели одинаковые фазы, то сила тока в неразветвленной части цепи была бы равна сумме сил токов IC, IRL. Однако эти токи имеют различные фазы: между каждым из них и ЭДС E существует сдиг фаз, определяемый формулой

.

Применим эту формулу для каждой ветви. Для ветви с конденсатором C: R=0, L=0.

Следовательно,

tgC ® -¥; C=-p/2.

Для ветви R-L, учитывая, что 1/(wC)=0, получим

tgRL=Lw/R=100; RL ~ p/2.

В формуле I=I0sin(wt-) величина  стоит со знаком "-"; это означает, что ток IC опережает по фазе ЭДС E на p/2, а ток IRL отстает по фазе от ЭДС E на p/2. В связи с этим, ток в неразветвленной цепи

I=IC – IRL=0,03 А. (3)

Замечание. В данной задаче величины R, L, w были связаны соотношением R<<Lw. Именно поэтому переменные токи в параллельных ветвях

оказались в противоположных фазах (D ~ p). Если при этом величины w,C, L оказались бы связанными соотношением w=wрез=[1/(LC)]1/2, то, как видно из формул (1), (2), величины IC, IRL приблизительно одинаковы и согласно формуле (3), I=IC-IRL ~ 0. Точнее, при R ® 0, I ® 0 и, следовательно, полное сопротивление переменному току всего участка стремится к бесконечности. В этом случае наблюдается резонанс токов (в отличие от резонанса напряжений, рассмотренного в предыдущей задаче). Таким образом, при наличии неравенства R<<Lw условие резонанса токов совпадает с условием резонанса напряжений.

6.5.5. Два параллельных провода, погруженные в бензол, индуктивно соединены с генератором высокочастотных электромагнитных колебаний. При частоте n=100МГц в системе устанавливаются стоячие электромагнитные волны. Перемещая вдоль проводов газоразрядную трубку А, по ее свечению определяют положения пучностей напряженности электрического поля. Расстояние между соседними пучностями оказалось равным l=1,00 м. Найти диэлектрическую проницаемость бензола.

Решение. Стоячие электромагнитные волны возникают в результате интерференции волн, распространяющихся по двухпроводной линии от генератора в прямом направлении, с волнами, отраженными от конца линии. Учтем, что при данной высокой частоте электромагнитных колебаний основные процессы, связанные с распространением электромагнитных волн вдоль линии, происходят не в проводах, а в окружающей их среде (в следствие скин-эффекта переменный ток частоты n=108 Гц течет практически лишь по поверхности проводов).

Согласно теории Максвелла, скорость электромагнитных волн в среде связана с их скоростью в вакууме формулой:

, (1)

где c =3,00108 м/с – скорость распространения электромагнитных волн(света) в вакууме.

Из формулы (1), учитывая, что для бензола  ~ 1, найдем его диэлектрическую проницаемость

e=c2/v2. (2)

Скорость электромагнитных волн связана с длиной волны  и частотой n соотношением v=n. Поскольку расстояние между соседними пучностями в стоячей волне равно половине длины волны, т.е. =2l, то получим

e=c2/v2=c2/(4l2n2). (3)

Подставив числовые значения величин, выраженные в единицах СИ, и выполнив вычисление, найдем e= 2,2.

Ответ: e=2,2.

Пример 5. Колебательный контур состоит из катушки с индуктивностью L= 1,2 мГн и конденсатора переменной электроемкости от C1=12 пФ до С2=80 пФ. Определить диапазон длин электромагнитных волн, которые могут вызывать резонанс в этом контуре. Активное сопротивление контура принять равным нулю.

Решение. Длина λ электромагнитной волны, которая может вызвать резонанс в колебательном контуре, связана с периодом Т колебаний контура соотношением

λ =сТ. (1)

Период колебаний, в свою очередь, связан с индуктивностью L катушки и электроемкостью С конденсатора колебательного контура соотношением (формула Томсона) . Следовательно,

. (2)

Согласно условию задачи, индуктивность контура неизменна, а электроемкость контура может изменяться в пределах от C1 до C2. Этим значениям электроемкости соответствуют длины волн λ1 и λ2,, определяющие диапазон длин волн, которые могут вызвать резонанс. После вычислений по формуле (2) получим:

λ1=226м; λ2=585 м.

6.5.6. Определить энергию, которую переносит за время t=1,00 мин плоская синусоидальная электромагнитная волна, распространяющаяся в вакууме, через площадку S=10,0 см2, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны. Амплитуда напряженности электрического поля волны E0==1,00 мВ/м. Период волны T<<t.

Решение. Энергия переносимая электромагнитной волной за единицу времени через единицу поверхности, перпендикулярной направлению распространения волны, определяется вектором ПойнтингаP=[EH]. Учитывая, что в электромагнитной волне векторыE,H взаимно перпендикулярны и перпендикулярны направлению распространения волны, получим для модуля вектораP

P=EH. (1)

Поскольку обе величины E, H, характеризующие электромагнитную волну, в каждой ее точке меняются во времени по закону синуса, находясь в одинаковых фазах, соотношение (1) можно записать так:

P=E0sinwtH0sinwt=E0H0sin2wt. (2)

Таким образом, величина P является функцией времени, и формулы (1), (2) дают лишь мгновенное значение величины P. Поэтому, согласно определению вектора плотности потока энергии, запишем

.

Отсюда энергия dW, переносимая волной через площадку S за время dt, с учетом формулы (2), равна

dW=PdS=E0H0Ssin2(wt)dt. (3)

Здесь неизвестна величина H0. Воспользуемся тем, что между величинами E, и H, характеризующими электромагнитную волну в одной и той же точке, существует простое соотношение. Найдем его, учитывая, что, согласно теории электромагнитных волн, плотности энергии электрического и магнитного полей волны в любой момент времени равны, т.е.

. (4)

Так как, по условию, e==1, то из (4) получим

H=E(e0/0)1/2.

Так же связаны между собой и амплитудные значения E0, H0. Тогда уравнение (3) примет вид

dW=(e0/0)1/2E02Ssin2(wt)dt.

После интегрирования, с учётом того, что в силу неравенства T<<t членом sin(2wt)/4w можно пренебречь, получим

.

Подставив числовые значения величин, выраженные в единицах СИ, и выполнив вычисления, найдем

W=8,010-11 Дж.

Ответ: W=8,010-11 Дж.

 








Date: 2015-09-18; view: 1765; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2018 year. (0.012 sec.) - Пожаловаться на публикацию