Примеры решения задач. 4.1.1. В однородном магнитном поле с индукцией 10,010-2 Тл расположена прямоугольная рамка (контур) abcd

4.1.1. В однородном магнитном поле с индукцией 10,010^-2 Тл расположена прямоугольная рамка (контур) abcd, подвижная сторона которой ad длиной l==0,10 м перемещается со скоростью v=25 м/с перпендикулярно линиям индукции поля. Определить ЭДС индукции, возникающую в контуре.

Решение. При движении проводника ad площадь рамки увеличивается, магнитный поток Ф сквозь рамку возрастает, а значит, согласно закону Фарадея, в рамке должна при этом возникать ЭДС индукции. Чтобы ее определить, сначала выразим магнитный поток Ф через индукцию поля B и стороны рамки l, x (x – расстояние от bc до ad. Согласно формуле

.

имеем Ф=BS=Blx.

Подставив это значение Ф в формулу E=– dФ/dt и учитывая, что B, l – величины постоянные, запишем

E=– dФ/dt=-Bl(dx/dt),

где v=dx/dt – скорость перемещения проводника ad. Поэтому

E=-Blv. (1)

Размерность полученного результата очевидна.

Сделав подстановку числовых значений величин B, l, v (все даны в единицах системы СИ), получим ответ

E=– 10,010^-20,1025=-2,510^-2 В.

Ответ: E=-2,510^-2 В.

Знак "минус" в формуле (1) показывает, что ЭДС индукции действует в контуре в таком направлении, при котором связанная с ним правилом правого винта нормаль к контуру противоположна вектору B. Отсюда заключаем, что и индукционный ток направлен в данном контуре против часовой стрелки. К такому же результату придем, применив правило правой руки для проводника ad.

Заметим, что если бы проводник ad двигался влево, то положительному приращению времени соответствовало бы отрицательное приращение (убыль) величины x. В этом случае индукционный ток направлен по часовой стрелке.

Замечание. При решении задачи допущена неточность: не принималось в расчет магнитное поле, созданное индукционным током. Это поле образует некоторый поток Ф' сквозь рамку. При движении проводника ad поток Ф' изменяется, что приводит к появлению дополнительной ЭДС Очевидно, что этот эффект тем слабее, чем меньше сила тока. Поскольку она обратно пропорциональна сопротивлению цепи, можно утверждать, что решение задачи верно при условии достаточно большого сопротивления цепи.

4.1.2. Короткая катушка, содержащая N=10³ витков, равномерно вращается с частотой n=10 с^-1 относительно оси АВ, лежащей в плоскости катушки и перпендикулярной линиям однородного магнитного поля (B=0,04 Тл). Определить мгновенное значение ЭДС индукции для тех моментов времени, когда плоскость катушки составляет угол a=60⁰ c линиями поля. Площадь катушки S=100 см².

Решение. Мгновенное значение ЭДС индукции E_i определяется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея-Максвелла

E_i=-dY/dt, (1)

где Y=NФ – потокосцепление;

N – число витков катушки;

Ф – магнитный поток, пронизывающий каждый виток катушки.

Подставив выражение Y в формулу (1), получим

E_i=- . (2)

При вращении катушки магнитный поток Ф, пронизывающий катушку в момент времени t, изменяется по закону

Ф=BScoswt,

где B – индукция магнитного поля,

S-площадь сечения катушки,

w – угловая скорость вращения.

Подставив в формулу (2) выражение магнитного потока Ф и продифференцировав по времени, найдём мгновенное значение ЭДС индукции

E_i=NBSwsinwt.

Заметив, что угловая скорость w связана с частотой вращения n катушки соотношением w=2pn и что угол wt=p/2 – a, получим (учтено, что sin(p/2 – a)==cosa)

E_i=2pnNBS.cosa. (3)

Выразив величины, входящие в полученное соотношение, в единицах системы СИ, подставив их в формулу (3), и выполнив вычисление, получим

E_i=23,141010³0,0410^-20,5=25 В.

Ответ: E_i=25 В.

4.1.3. Квадратная проволочная рамка со стороной а=5 см и сопротивлением R=10 мОм находится в однородном магнитном поле (B=40 мТл). Нормаль к плоскости рамки составляет угол a=30⁰ с линиями магнитной индукции. Определить заряд, который пройдет по рамке, если выключить магнитное поле.

Решение. При выключении магнитного поля произойдет изменение магнитного потока. Вследствие этого в рамке возникнет ЭДС индукции, определяемая основным законом электромагнитной индукции

E_i=-dФ/dt.

Возникшая ЭДС индукции вызовет в рамке индукционный ток, мгновенное значение которого можно определить воспользовавшись законом Ома для полной цепи I_i=E_i/R,

где R – сопротивление рамки.

Тогда . (1)

Так как мгновенное значение силы индукционного тока I_i=dQ/dt, то выражение (1) можно переписать в виде

,

откуда dQ=– dФ/R. (2)

Проинтегрировав (2), найдем

, тогда Q=(Ф₁-Ф₂)/R.

Заметив, что при выключенном поле (конечное состояние) Ф₂=0, последнее равенство перепишем в виде

Q=Ф₁/R. (3)

Найдем магнитный поток Ф₁. По определению магнитного потока имеем

Ф₁=BScosa,

где S – площадь рамки.

В нашем случае (рамка квадратная) S=а².

Тогда

Ф₁=Bа²cosa. (4)

Подставив (4) в (3), получим

Q=(Bа²cosa)/R.

Выразив величины, входящие в полученное соотношение, в единицах системы СИ, подставив их, и выполнив вычисление, получим

.

Ответ: Q=8,710^-3 Кл.

Пример. 3 По соленоиду течет ток I=2 А. Магнитный поток Ф, пронизывающий поперечное сечение соленоида, равен 4 мкВб. Определить индуктивность L соленоида, если он имеет N=800 витков.

Решение. Индуктивность L соленоида связана с потокосцеплением Y соотношением Y=LI, откуда L=Y/I. Заменив здесь потокосцепление Y его выражением через магнитный поток Ф и число витков N соленоида (Y=ФN), получим

(1)

Произведя вычисления по формуле (1), получим

L == 1,6 мГн.

Пример 4. При скорости изменения силы тока DI/Dt в соленоиде, равной 50 А/с, на его концах возникает ЭДС самоиндукции =0,08 В. Определить индуктивность L соленоида.

Решение. Индуктивность соленоида связана с ЭДС самоиндукции и скоростью изменения силы тока в его обмотке соотношением *

*Сравните с предыдущим примером

Вынося постоянную величину L за знак приращения, получим

Опустив знак минус в этом равенстве (направление ЭДС в данном случае несущественно) и выразив интересующую нас величину — индуктивность, получим

Сделав вычисления по этой формуле, найдем

L=1,6 мГн.

4.1.4. В однородном магнитном поле с индукцией B вращается в плоскости, перпендикулярной линиям индукции, медный диск радиуса r, совершая n оборотов в секунду. При помощи скользящих контактов диск подключен к цепи, сопротивление которой R. Определить ЭДС индукции, возникающую при вращении диска, количество электричества q, протекающего по цепи, а также количество теплоты Q, выделенное в цепи за время, в течение которого диск совершил N оборотов.

Решение. При вращении диска в магнитном поле в контуре abcd, состоящем из цепи с сопротивлением R возникает индукционный ток, а значит, возникает ЭДС электромагнитной индукции. Так как магнитный поток сквозь этот контур не меняется, то, следовательно, закон Фарадея для электромагнитной индукции не может дать правильного результата. При движении проводников в магнитном поле закон Фарадея применяется лишь для контура, проходящего через одни и те же точки движущегося проводника. Здесь же участок контура проходит все время через различные радиусы вращающегося диска.

В контуре должна возникать ЭДС, так как один из его участков, например ad, представляет собой движущийся проводник, и поэтому на его свободные электроны, движущиеся вместе с диском, действуют силы Лоренца. Эти силы будут перемещать электроны относительно диска от точки a к точке d. Поэтому, чтобы найти ЭДС индукции, воспользуемся формулой определяющей любую ЭДС

E= .

В данном случае в качестве сторонней силы, действующей только на участке ad, выступает сила Лоренца, численное значение которой равно:

F_л=еvBsina=еvB,

где е – заряд электрона.

E . (1)

Интегрирование проводится не по замкнутому контур L, а только по длине участка ad, которая меняется от нуля до r.

Находясь в различных точках участка ad, электроны имеют разную линейную скорость v, но одинаковую угловую скорость w. Для электрона, находящегося на расстоянии l от центра диска, v=wl=2pnl.

Подставив это значение v в формулу (1), получим

E . (2)

Таким образом, при равномерном вращении диска, в цепи действует постоянная ЭДС, создавая в ней постоянный ток.

Количество электричества q, перемещенное индукционным током, определяется формулой q=-DФ/R.

Однако последняя формула имеет смысл только в тех же случаях, что и закон Фарадея. Поэтому величину q можно определить, воспользовавшись известным соотношением для цепи постоянного тока:

q=It=Et/R.

Подставив вместо E ее значение по формуле (2) и учитывая, что t=N/n, найдем

q=pr²NB/R. (3)

Количество теплоты Q, выделенное в цепи постоянного тока, с учетом формул (2), (3) выразим так

Q=EIt=Eq=p²r⁴nNB²/R.

Из полученных результатов видно, что при заданном числе оборотов величина q не зависит от скорости вращения диска, тогда как величина Q, будучи пропорциональной n, зависит.

Замечание. При решении задачи в качестве сторонних сил, действующих на свободные электроны во вращающемся диске, рассматривалась лишь сила Лоренца. Строго говоря, надо учесть еще центробежные силы инерции (если рассматривать явление в системе отсчета, связанной с вращающимся диском). Эти силы действуют на электроны независимо от магнитного поля, отбрасывая их к краям диска и создают добавочную ЭДС Таким образом, в рассматриваемом случае имеется, по существу, два генератора ЭДС: один электромагнитный, второй "инерционный", работающий по принципу центробежного насоса. В данном случае обе ЭДС E и E' создают индукционный ток одного направления. При изменении направления вращения диска, ток изменит свое направление.

ЭДС "инерционного" генератора можно определить из следующих соображений. На электрон массы m, находящийся на расстоянии l от центра диска, действует центробежная сила инерции

F_ин=-ma=-mw²l=-4p²n²lm,

где а – центростремительное ускорение электрона, обусловленное его вращением вместе с диском.

Подставив это значение F_ин (опуская знак "-") в формулу (1), получим

E . (4)

Сравнив величины E, E' по формулам (4) и (2), имеем

E^’/E= .

Так как для электрона m/e=5,710^-12 кг/Кл, то данное отношение весьма мало, а это означает, что величиной E' можно пренебречь. Однако в случае слабых магнитных полей и больших скоростей вращения диска действие "инерционного" генератора необходимо учитывать.

Пример 2. В однородном магнитном поле с индукцией B=0,1 Тл равномерно вращается рамка, содержащая N= 1000 витков, с частотой n=l0 c ^-1. Площадь S рамки равна 150 см². Определить мгновенное значение ЭДС , соответствующее углу поворота рамки 30°.

Решение. Мгновенное значение ЭДС индукции , определяется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея — Максвелла:

Потокосцепление Y=NФ, где N — число витков, пронизываемых магнитным потоком Ф. Подставив выражение Y в формулу (1),получим

(2)

При вращении рамки магнитный поток Ф, пронизывающий рамку в момент времени t, изменяется по закону Ф=ВS cosw t, где В — магнитная индукция; S — площадь рамки; w— угловая частота. Подставив в формулу (2) выражение Ф и продифференцировав по времени, найдем мгновенное значение ЭДС индукции:

(3)

Угловая частота со связана с частотой п вращения соотношением w=2pп. Подставив выражение со в формулу (3) и заменив wt на угол a, получим

(4)

Убедимся в том, что правая часть полученного равенства дает единицу ЭДС (В). Учтя, что 2 p, N и sin wt — величины безразмерные и неименованные, получим

Произведя вычисления по формуле (4), найдем

4.1.5. В цепи, состоящей из параллельно включенных: катушки индуктивности, активное сопротивление которой R₁=5,0 Ом, а L=0,34 Гн; сопротивления R₂=95 Ом; источника с ЭДС E=38 В, имеется ключ К, с помощью которого можно либо включать источник тока, либо его выключать. Внутреннее сопротивление батареи пренебрежимо мало. Определить силу тока в резисторе R₂ в трех случаях: 1) до размыкания цепи; 2) в первый момент после размыкания; 3) через 0,01 с после размыкания.

Решение. 1. Силу тока I₂ до размыкания цепи найдём по второму правилу Кирхгофа, применив его для контура, состоящего из R₂ и батареи с E

I₂R₂+Ir=E,

где I – сила тока в батарее;

r – внутреннее сопротивление источника.

Поскольку внутренним сопротивлением батареи можно пренебречь, получим

I₂R₂=E, I₂=E/R₂=0,40 А.

2. Найдем силу тока I₂' в резисторе R₂ сразу же после размыкания ключа К. Если в первом случае резистор R₂ и катушка L были соединены между собой параллельно, то после отключения батареи они, образуя один неразветвленный контур, оказываются соединенными последовательно. Следовательно, по ним должен течь одинаковый ток. Так как из двух участков только один обладает индуктивностью, то именно ток I₁, проходивший до размыкания цепи по этому участку, должен сохраниться. Такой результат приобретает простой физический смысл: поскольку индуктивность является мерой инертности тока в проводнике, то ток I₂ в резисторе R₂, практически лишенный инертности, сразу исчезнет после отключения батареи и по всему контуру потечет ток I₁. Таким образом, получаем ответ

I₂'=I₁=E/R₁=7,6 А.

3. Так как в данном случае цепь отключена от батареи, ток начнет убывать. Его величину I₂'' в заданный момент времени t=0,01 с можно определить по формуле для изменения тока при замыкании и размыкании

E/R ,

где I₀=0 – начальная сила тока при замыкании цепи;

E=0 – при размыкании цепи.

В рассматриваемом случае E=0 (случай размыкания), I₀=I₁.

Следовательно, имеем

I₂''=I₁exp(-Rt/L), (1)

где R=(R₁+R₂) – общее сопротивление цепи.

Подставив числовые значения величин I₁, R₁, R₂, L, t, в формулу (1) и произведя вычисления, найдем:

I₂''=0,4 А.

Ответ: I₂=0,4 А; I₂'=7,6 А; I₂''=0,4 А.

4.1.6. Резистор сопротивлением R присоединен к верхним концам двух вертикальных медных стержней, отстоящих на расстоянии l друг от друга. Стержни замкнуты медной перемычкой массы m, которая без трения может скользить по ним. В окружающем пространстве создано однородное магнитное поле с индукцией B, перпендикулярное плоскости, в которой расположены стержни. Перемычку отпустили, после чего она начала падать без нарушения электрического контакта. Пренебрегая сопротивлением стержней и перемычки, найти установившуюся скорость v последней. Принять индуктивность единицы длины системы стержней равной k.

Решение. При падении перемычки площадь контура, образованного резистором, стержнями и перемычкой, растет, и магнитный поток сквозь него увеличивается. Согласно закону Фарадея, в контуре появляется ЭДС электромагнитной индукции, вызывающая индукционный ток. Следовательно, на перемычку кроме силы тяжести m g действует со стороны магнитного поля сила Ампера F_А, определяемая формулой:

d F_А= I[ lB ].

Так как для всех элементов длины перемычки, по которой идет ток силой I, sina=1 и B =const, то

F_А=IBl.

Согласно правилу Ленца, сила F_А направлена против силы m g. С ростом скорости падения перемычки увеличивается ЭДС индукции, сила тока I и, следовательно, сила Ампера F_А. Скорость перестанет возрастать, когда наступит равновесие сил m g и FА, т.е.

mg=IBl. (1)

Из условия (1) можно найти силу тока I, а последнюю связать с искомой скоростью, применив закон Ома и закон электромагнитной индукции. По закону Ома для замкнутой цепи

I=E/R, (2)

где E=(E_i+E_s) – ЭДС, действующая в контуре;

E_i – ЭДС индукции, возникающая при изменении сквозь контур магнитного потока Ф₁ вектора B;

E_s – ЭДС самоиндукции, которая появляется при изменении магнитного потока Фs сквозь контур, созданного индукционным током. Этот поток изменяется вследствие роста площади контура.

Величину E_i можно определить из следующих соображений:

E = . (3)

где q – величина заряда.

При движении в магнитном поле проводника ad вместе с ним движутся со скоростью v его свободные заряды (электроны). Поэтому на каждый из них действует сила Лоренца, выполняющая роль сторонней силы F_ст, входящей в формулу (3). Посколькувектор v перпендикулярен вектору B, то силу Лоренца можно определить по формуле

F_л=qvBsina=qvB.

Так как она действует только вдоль участка ad длиной l, интеграл, стоящий в (3), равен

.

Подставив это значение интеграла в формулу (3), получим

E=vBl. (4)

Чтобы определить величину E_s, учтем, что в данном случае индуктивность контура величина переменная. Действительно, индуктивность L=kx, где x – длина вертикальных стержней, измеренная на участке, по которому идет ток. При падении перемычки величины x и L возрастают. На основании законов электромагнитной индукции и самоиндукции, для ЭДС самоиндукции запишем

E_s= . (5)

Так как при установившейся скорости падения перемычки I=const, то первое слагаемое в (5) равно нулю и тогда

½E_s½= . (6)

Величины E_i и E_s имеют в данном случае противоположные знаки, поскольку магнитные потоки Ф_i и Ф_s направлены, согласно правилу Ленца, противоположно; при этом оба потока растут по абсолютному значению.

Учитывая это, из уравнений (2) – (4) и (6) найдем:

I=(Blv – Ikv)/R. (7)

Исключив из формул (1) и (7) силу тока I, определим установившуюся скорость перемычки:

. (8)

Проанализируем полученный результат.

1. Если k=0, то v=mgR/B²l² и направлена вниз. Так как при наличии индуктивности скорость, будучи величиной конечной, направлена также вниз, то приходим к выводу, что формула (8) верна лишь при значениях заданных величин, удовлетворяющих неравенству

B²l²>mgk. (9)

Выясним физический смысл этого соотношения. Из (1) следует, что значение I, необходимое для равновесия приложенных к перемычке сил, равно:

I=mg/Bl. (10)

Однако индуктивность цепи ограничивает рост силы тока в контуре, происходящий при увеличении скорости перемычки. Действительно, из (7) находим

I=Bl/(R/v+k).

Отсюда, предположив v®¥, получим предельную силу тока:

I_пред=Bl/k. (11)

Сопоставляя формулы (9) – (11), видим, что неравенство (9) эквивалентно очевидному условию I_пред>I. Следовательно

1. Если соотношение (9) не выполняется, то это означает, что сила тока в контуре, ограниченная в процессе самоиндукции величиной I_пред, не достигает значения, необходимого для равновесия сил m g и F_А, приложенных к перемычке, ни при каких конечных значениях ее скорости. Другими словами, скорость перемычки неограниченно возрастает и ее установившееся значение недостижимо.

2. Если R®¥, то v®¥. В этом случае ток по контуру не идет и перемычка падает под действие силы тяжести с ускорение g.

3. Если R=0 и выполняется условие (9), то v=0: перемычка будет неподвижно висеть в магнитном поле, несмотря на действие силы тяжести. Этот парадоксальный результат можно осуществить, если охладить проводника рассматриваемого контура, помещенного в достаточно сильное магнитное поле, до сверхпроводящего состояния.

Пример 1. На стержень из немагнитного материала длиной l=50 см намотан в один слой провод так, что на каждый сантиметр длины стержня приходится 20 витков. Определить энергию W магнитного поля внутри соленоида, если сила тока I в обмотке равна 0,5 А. Площадь S сечения стержня равна 2 см².

Решение. Энергия магнитного поля соленоида с индуктивностью L, по обмотке которого течет токI, выражается формулой

. (1)

Индуктивность соленоида в случае немагнитного сердечника зависит только от числа витков на единицу длины и от объема V сердечника: L=μ₀n²V, где μ₀ —магнитная постоянная. Подставив выражение индуктивности L в формулу (1), получим . Учтя, что V=lS, запишем

. (2)

Сделав вычисления по формуле (2), найдем

W=l26 мкДж.

Пример 2. По обмотке длинного соленоида со стальным сердечником течет ток I=2А. Определить объемную плотность ω энергии магнитного поля в сердечнике, если число п витков на каждом сантиметре длины соленоида равно 7 см^-1.

Решение. Объемная плотность энергии магнитного поля определяется по формуле

. (1)

Напряженность Н магнитного поля найдем по формуле H=nl. Подставив сюда значения п (п =7 см^-1=700 м^-1) и I, найдем

H=1400 А/м.

Магнитную индукцию В определим по графику (см. рис. 24.1) зависимости В от Н. Находим, что напряженности H=1400 А/м соответствует магнитная индукция B=1,2 Тл.

Произведя вычисление по формуле (1), найдем объемную плотность энергии:

ω=840 Дж/м³.