Зведення основних положень та результатів

1. Будь-яке просте скіченне поле ізоморфне ‑ полю лишків за модулем при деякому простому (операції в ‑ це операції над цілими числами за ).

2. Кожне скінченне поле містить просте підполе (при деякому простому ), і тільки одне.

3. Кожне скінченне поле має елементів, де деяке просте, а ‑ натуральне числа і позначається або . ‑ кількість елементів поля ‑ називається його порядком, ‑ характеристикою поля, а степенем розширення над простим підполем .

4. є лінійним векторним простором над . Це означає, що елементи поля можна зобразити як вектори розмірності з компонентами з простого поля . Додавання цих елементів виконується покомпонентно – компоненти додаються за . Елементи можна також зобразити як поліноми степеня не вище за з коефіцієнтами з простого підполя. Множення в виконується як множення цих поліномів за , де незвідний над поліном степеня , причому поля, одержані за допомогою різних незвідних поліномів степеня , ізоморфні.

5. є підполем (інакше кажучи, є розширенням ) тоді і тільки тоді, коли ділить .

6. Нехай . Кожен елемент є алгебраїчним над , тобто є коренем деякого полінома з коефіцієнтами з . Серед усіх поліномів над , для яких є коренем, існує єдиний незвідний нормований поліном. Він називається мінімальним поліномом елемента .

7. Множина ненульових елементів з операцією множення, заданою в цьому полі, утворює мультиплікативну групу скінченного поля. Ця група циклічна.

8. Твірні елементи мультиплікативної групи називаються примітивними елементами поля . Їх кількість дорівнює . Використовуючи зображення елементів скінченного поля як степенів примітивного елемента (таблицю індексів), зручно обчислювати добуток елементів .

9. Всі елементи поля , і тільки вони, задовольняють рівності Нехай . Для того, щоб перевірити, чи належить полю елемент , досить перевірити для нього цю рівність. Інакше кажучи, всі елементи поля , і тільки вони, є коренями полінома , а поле ‑ поле розкладу цього полінома.

10. Над полем поліном розкладається у добуток всіх незвідних над нормованих поліномів, степні яких ділять .

11. Корені незвідного над полінома степеня лежать у полі . Якщо ‑ корінь , то всі його корені можна зобразити у вигляді: .

12. Незалежно від того, чи є коренем незвідного полінома, елементи називаються спряженими з відносно поля . Спряжені елементи (а отже і корені незвідного полінома) мають однаковий порядок у мультиплікативній групі поля .

13. Сума всіх спряжених з відносно елементів називається слідом над , а добуток – нормою. Слід є лінійним відображенням ; через слід виражаються всі лінійні відображення в .

14. , як лінійний векторний простір над , має базис розмірності . Базис, що складається з степенів , де ‑ корінь деякого незвідного над полінома степеня , називається поліноміальним. Якщо базис складається із спряжених над елементів, то він називається нормальним. Для будь-якого скінченного поля існує нормальний базис над будь-яким його підполем.

15. Порядком полінома () називається мінімальне натуральне число таке, що (таке завжди існує) і позначається . Якщо ‑ незвідний поліном степеня , то ; для звідного полінома це, взагалі кажучи, не так. Найбільший порядок, який може мати поліном степеня над , дорівнює .

16. Порядки довільних поліномів через порядки незвідних поліномів обчислюються наступним чином. Нехай – скінченне поле характеристики p, – канонічний розклад полінома , ,deg >0. Тоді

a. ,

b. де N .

17. Незвідний нормований поліном степеня , який має порядок , називається примітивним. Він є мінімальним поліномом деякого примітивного елемента поля ; більше того, всі корені примітивного полінома ‑ примітивні. Кількість примітивних поліномів степеня над дорінює .

18. Автоморфізм скінченного поля над підполем ‑ це автоморфізм , який залишає елементи на місці. Всі автоморфізми над вичерпуються відображеннями виду:

ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК

автоморфізм 5 ‑‑ поля над підполем 44 алгоритм Евкліда 8   базис поля над підполем 20, 42 ‑‑ ‑‑ автодуальний 42 ‑‑ ‑‑ дуальний 42 ‑‑ ‑‑ нормальний 43 ‑‑ ‑‑ поліноміальний 42 башта розширень 20   гомоморфізм 5 група 4 ‑‑ абелева 4 ‑‑ адитивна 4 ‑‑ мультиплікативна 4 ‑‑ ‑‑ скінченного поля 27 ‑‑ нескінченна 4 ‑‑ скінченна 4 ‑‑ циклічна 4   експонента полінома 35 елемент алгебраїчний 21 ‑‑ обернений до 7 ‑‑ оборотний 7 ‑‑ примітивний 28 ‑‑ спряжений 31 ‑‑ твірний (циклічної групи) 5 ендоморфізм 4 епіморфізм 5   зображення елементів скінченних полів 32 значення полінома 10   ідеал 6 ‑‑ головний 6 ізоморфізм 5     поле 7 ‑‑ Галуа 20 ‑‑ просте 19 ‑‑ розкладу полінома 25 -- часток 16 подільність поліномів 11 поліном мінімальний 22 ‑‑ над кільцем 10 ‑‑ над полем 11 ‑‑ незвідний 13 ‑‑ нормований 12 ‑‑ нульовий 10 ‑‑ примітивний 38 ‑‑ характеристичний елемента порядок групи 4 ‑‑ полінома 35 ‑‑ поля 20 похідна полінома 16 простір лінійний векторний 20   рівність поліномів 10 розширення поля 19 ‑‑ ‑‑ алгебраїчне 21 ‑‑ ‑‑ одержане шляхом приєднання елементів 19 ‑‑ ‑‑ просте 19 ‑‑ ‑‑ скінченне 20   слід 39 ‑‑ абсолютний 39 степінь полінома 10 ‑‑ розширення 20 структура алгебраїчна 4

індекс 34   кільце 5 ‑‑ головних ідеалів 6 ‑‑ евклідове 5 ‑‑ з одиницею 5 ‑‑ комутативне 5 ‑‑ лишків за 7 ‑‑ поліномів над кільцем 10 ‑‑ ‑‑ ‑‑ полем 11 ‑‑ цілих чисел 6, 7 ‑‑ цілісне 5 коефіцієнт полінома 10 ‑‑ ‑‑ старший 10 корінь полінома 15 ‑‑ ‑‑ кратності 15 ‑‑ ‑‑ незвідного 29 ‑‑ ‑‑ простий 15   мономорфізм 5   напівгрупа 4 найбільший спільний дільник чисел 8 ‑‑ ‑‑ ‑‑ поліномів 12 найменше спільне кратне поліномів 12 норма 41 носій алгебраїчної структури 4   область цілісності 5 операція бінарна 4   період полінома 35 підгрупа 5 підкільце 6 підполе 17 ‑‑ власне 17     таблиця індексів 34 теорема Безу 15 ‑‑ Лагранжа 5 ‑‑ про автоморфізми скінченних полів 44 ‑‑ -- “башту” розширень 20 ‑‑ ‑‑ властивості норми 41 ‑‑ ‑‑ властивості сліду 39 ‑‑ ‑‑ гомоморфізм кілець 7 ‑‑ ‑‑ існування та єдиність скінченних полів 25 ‑‑ ‑‑ канонічний розклад полінома 13 ‑‑ критерій підполя 26 ‑‑ про мультиплікативну групу скінченного поля 27 ‑‑ ‑‑ нормальний базис 43 ‑‑ ‑‑ степені поліномів 10 ‑‑ ‑‑ транзитивність сліду 41   характеристика поля 18   фактор-кільце 6 ‑‑ ‑‑ поліномів 13   ядро гомоморфізму 7