Задачі до §20-22

1. Нехай К – підполе F, поліном (над К). Довести: .

2. Нехай К – підполе F, ; лінійний оператор в F. Довести: характеристичний поліном лінійного оператора співпадає з характеристичним поліномом g(x) елемента a, тобто g(x)= det (xI- ).

3. В термінах задачі 2, довести: .

4. Використовуючи задачу 3, довести властивості лінійності сліду.

5. Нехай КÌF, char F=p. Довести: .

6. Нехай К = F_q ÌF, a=b^q-b для деякого bÎ F. Довести: для деякого gÎ F виконується a=g^q-g Û b-gÎ К.

7. Нехай К = F_q ÌF. Довести: aÎ F і для деякого bÎ F^*.

8. Довести, що .

9. Розглядаючи поле як векторний простір над , довести, що для кожного лінійного оператора L в цьому векторному просторі існує однозначно визначений набір , такий, що .

10. Довести: кількість відмінних базисів над дорівнює .

11. Довести: якщо - базис над , то хоча б для одного виконується: .

12. Довести: .

13. Довести існування такого нормального базису поля над , для якого .

14. а) Побудувати автодуальний нормальний базис над .

б) Довести: не існує автодуального нормального базису над .

15. Показати, що базис не може бути автодуальним. Зокрема, поліноміальний базис не може бути автодуальним.

16. Нехай - базис над ,

.

Довести: .

17. Довести: .